八年级数学，勾股定理，通过构图法求最值和面积

　　勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，即运用数形结合思想方法解决问题。“数”是指能构造出直角三角形的三边的长度,“形”是构造出来的直角三角形。解答题目的关键是以“形”助“数”。

　　01构图法求最值

　　构图法求最值：①将数的问题转化为形的问题；②转化后常利用将军饮马的最值模型辅助求解；③将军饮马的最值模型可求线段和的最小值以及线段差的最大值。

　　例题1：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x.

　　（1）用含x的代数式表示AC+CE的长．

　　（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小，并求出此时AC+CE的最小值．

　　（3）根据（2）中的规律和结论，重新构图求出代数式√x2+1+√(8?x)2+25的最小值．

　　

　　分析：（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；

　　（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；

　　

　　（3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式√x2+1+√(8?x)2+25的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值。

　　

　　此题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，本题利用了数形结合的思想，求形如√x2+1+√(8?x)2+25的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解。

　　02构造法求面积

　　例题2：（1）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为√5、√10、√13，求此三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示，这样不需求△ABC的高而借用网格就能计算出它的面积，请你将△ABC的面积（）；

　　（2）思维拓展：我们把上述求△ABC面积的方法叫做方格构图法．如果△ABC三边的长分别为√5a、√8a、√17a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积；

　　

　　（3）探索创新：若△ABC三边的长分别为√m2+16n2，√9m2+4n2，2√m2+n2（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法在图③网格中画出相应的△ABC示意图，并求出这个三角形的面积．

　　

　　分析：本题考查作图-应用与设计作图，二次根式的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会构造三角形解决问题，学会利用割补法求三角形的面积。

　　

　　此题主要考查了勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答。

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