2023上海中考数学压轴题

时间：2023-07-02

　　网传上海中考数学考卷如下：

　　上海这张卷子的特点：能不给图就不给图，要给图也尽量添油加醋，让考生眼花缭乱；题面描述尽可能不好好说，一句话拐三个弯。作为提升难度的手法，也不是不可以理解。但22题明显玩脱了，引发了大争议。当然，作为考生，应该要学会猜到出题人在22题想考什么，不要头铁去钻牛角尖：）

　　看下选择最后两道：

　　第5题，没图。A,B容易判断是菱形；C,D小心别弄混了。简单用等腰梯形，排除D。

　　第6题，没图。用这个版本的题，推不出这两个结论，要选D。但总觉得出题人不应该是这个意图。合理解释是题面应该是“等腰梯形”。在等腰梯形的条件下，加常规辅助线，可以得到这两个结论，选C。

　　填空题最后两道：

　　第17题：有图但不好好说话的题，题目其实和旋转没什么关系。

　　 $180^0-\angle C-\angle BAC=180^0-35^0-2\alpha=\angle B=\angle BDA=35^0+\alpha$

　　 $\alpha=\frac{110}3^0$

　　第18题：没图。这个版本的题目也有问题。如果点F在CA延长线上，那么点D只能在AC中点到点A连接的线段上（不含AC中点），而这段区间内，圆B与圆E必然相交。r的范围就是AC的一半到全长， $(\sqrt{10},2\sqrt{10}]$ 。但这样的话圆B没有多大意义，似非出题本意。

　　猜测正确的题目应该是“点F在CD延长线上”，这样的话，D点可以取AC上所有的点，r的最小值出现在圆B与圆E内切时，列方程 $(7-r)^2-3^2=(2r)^2$ ,r=2或 $r=\frac{20}3(舍去)$ ，所以r的范围为 $[2,2\sqrt{10}]$

　　解答题最后两道：

　　第24题：

　　第一问，送分，A(-8,0)，B(0,6)

　　第二问，送分，c为y轴截距，c=6，将顶点坐标代入直线方程，得 $-\frac34\cdot-\frac b{2a}+6=-\frac{b^2}{4a}+6$ ,b=0(C,B重合，舍去。【原题中似有B,C不重合的条件】)，或b=3/2

　　第三问，读懂关键句“CD//x轴，且点P在x轴上”，这其实是说BC在纵轴方向上的距离等于C点到x轴的距离，所以C点是AB的中点，所以C点坐标为（-4,3），代入解析式，求得 $a=\frac3{16}$

　　接下来，用一般式或顶点式均可。设一般式： $y=\frac3{16}x^2+b'x+6$ ,顶点在x轴意味着函数和x轴有且只有一个交点，判别式值为0，所以 $b'=\pm\frac32\sqrt2$

　　设顶点式： $y=\frac3{16}(x+b')^2$ ,代入（0,6）， $b'=\pm4\sqrt2$

　　第25题：

　　第一问，送分。不要被圆弧迷了眼，由OB=OD,AB=AC,得到OD//AC；由OG=GD,OF=FB,得到GF//BD，命题得证。

　　第二问，记得OD//AC，所以由 $\angle OFE=\angle DOE=\angle OEA\Rightarrow\triangle AEO\sim\triangle AFE\Rightarrow EA^2=AO\cdot AF$

　　设OB=EO=2OF=x，则 $EA^2=4(4+\frac x2)$

　　对直角三角形EAO使用勾股定理列方程： $4(4+\frac x2)+4^2=x^2$ ,解得 $x=1+\sqrt{33}$ （舍去负根）

　　第三问，关键是如何用好BG=OB以及三等分的条件。

　　因为GF是三角形GBO的中线，尝试倍长中线，将BG平移到OB'，由OB'=OE得到 $\angle OEG=\angle OB'F$

　　同时由三等分条件推出G,F三等分线段EB'，EG=FB'

　　由SAS得到 $\triangle EGO\simeq\triangle B'FO\Rightarrow GO=OF=\frac12OD$ ,所求比值 $\frac {OG}{OD}=\frac 12$