2006年浙江高考数学真题，普通学生硬算，学霸10秒可得答案

　　大家好！本文和大家分享一道2006年浙江高考数学真题。这道题是当年浙江高考数学试卷的第一道填空题，难度不大，考查的是等差的前n项和及公差的计算。普通学生做这道题硬算也可以得到答案，但是学霸却只需要10秒钟就足够了。

　　

　　题目见上图，我们先来看一下一般解法。

　　用等差数列求和公式Sn=na1+n(n-1)d/2表示出S5和S10，即5a1+5×4d/2=10，10a1+10×9d/2=-5，这样就得到了一个关于a1和d的二元一次方程组，解出这个方程组就可以得到公差d。

　　当然，在这个方程组中，我们不需要求解a1的值，所以直接消去a1就可以快速得到d的值。

　　

　　上面就是一般学生的求解方法，这个方法肯定是没有错的，但是我们还有更简单的方法。

　　首先，当等差数列的项数为奇数即n=2k+1时，我们对等差数列最基本的求和公式Sn=n(a1+an)/2进行变形，得到Sn=n[a1+a(2k+1)]=na(k+1)。也就是说，当项数为奇数时，等差数列的前n项和就等于项数n乘以中间项也就是平均值a(k+1)的值。这是等差数列中非常重要的一个简化计算的技巧，高中学生应该掌握。

　　

　　按照上面得到的结论，那么可以由S5=10即5a3=10，快速得到a3=2。

　　其实，即使项数不是奇数是偶数，等差数列的前n项和同样等于项数乘以平均值，只不过平均值就不是中间项的值了，而是中间两项的平均值，即当n=2k时，Sn=n[ak+a(k+1)]/2。那么这个关系在求公差时能否进行简化呢？当然可以的。

　　

　　我们先看看一下等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，变形后就可以得到an=dn+(a1-d)。也就是说等差数列通项公式可以看成是一个关于n的一次函数，而公差d就是这个一次函数一次项的系数，也就是函数图像对应直线的斜率。既然是斜率，那么d的值就与n的取值无关，也就是说即使n不是整数而是小数，d也不变。

　　在这样的背景下，当n=2k时，Sn=nam，其中m=(2k+1)/2。这样就可以快速计算出am的值，且m为小数，所以am实际上不是等差数列的项，但是用am计算公差是不会影响到结果的。所以，本题中由S10=-5就可以快速得到a5.5=-1/2，所以d=(a5.5-a3)/(5.5-3)=-1。

　　

　　如果熟练掌握了解法二里提到的方法，本题只需要10秒钟就可以得到答案。你学会这个方法了吗？

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