2022年八校联考数学选题解析（T8）

　　

　　这是近期看到的一套还不错的题目，针对知识点和常见题型选出以下题目给与解析，很有参考价值的几个题。

　　

　　第7题考查周期性，题目的具体思路不解释，按照题目的条件和形式很容易推导出类似周期的形式，但若写出f(x+4)=f(x)+k的形式，此时并不是严格周期性，每用一次周期都会加一次k，需要考虑用到化简周期的次数，例如f(2023)=f(405×4)+405·k，这也是题目的意义所在。

　　

　　

　　这是一个很有意思的题目，很隐晦地考查中点弦问题，其实题目已经告诉了一个很明显的条件，即PQ关于原点对称，则O点为中点，取PB的中点D，根据中点弦公式可知kBP·kOD为定值，即kBP·kBQ=-b2/a2，求出这个值即可，在△PQB中三条边所在的直线斜率是有关联的，BP和PQ垂直，AQ的斜率和PQ的斜率均可用P点的坐标表示，因此BP和BQ斜率乘积为定值。

　　

　　第12题多选题耗时太长，出在这里意义不大，主要考查对三角函数型导数单调性的判断，本题只需会判断m(x)=1-cosx-x+sinx的单调性即可，注意如何区分区间讨论单调性，当x<0时根据sinx>x可判断出函数恒正，当出现sinx±cosx等可利用辅助角公式化简的形式时可判断出整体值域的范围，即m(x)=1-x+√2sin(x-π/4),1+√2=2.41,因此当x>π时m(x)<0,再求导数判断(0,π)上的单调性即可。

　　

　　

　　第16题并非以焦点三角形的形式出现，既然出现了渐近线，就需考虑渐近线的斜率，题目中告知了一个外角，自然也就想到了外角和，利用正弦定理即可，当然也可以写出点P的坐标，利用已知顶角结合余弦定理或向量数量积公式。

　　

　　这个题的第二问很值得一做，点P的坐标可以表示出，利用面积公式可求出OQ的长度，再求出点Q的坐标，利用PQ和双曲线相切可得到a,b的关系，但这样做失去了题目的价值。

　　若设P,Q两点横坐标分别为x1,x2，利用面积公式表示出三角形面积化简后可得S=b|x1x2|/a，只需表示出x1x2即可，但P,Q并不是直线与曲线的交点，可根据切线公式写出PQ的方程后与两条渐近线联立，此时并非分别联立，而是与两条渐近线的乘积形式即x2/a2-y2/b2=0联立，联立后根据韦达定理求出x1x2即可，本题不需要考虑解题时长，了解其中的解题思维即可。

　　

　　最后一个导数题的第一问不难证明，此时就不给出证明过程，题目有意思的地方是第二问，常做的双变量问题中的函数均为同一函数，此处却是分段函数，这就表示了x1,x2所符合的方程形式不同，很难同一化简，且从所证不等式来看也缺乏对称形式，所以统一所证不等式是解题的关键。

　　分段函数分别为指数型和对数型，写出g(x1)=0,g(x2)=0后能观察两式形式相似，若将e^x1和x2作为变量，则均符合h(x)=lnx-a(x+1)-xlnx的形式，可证h(x)单调，则e^x1=x2，利用这个等式即可将不对称的不等形式转化为对称形式，这种题目不多见，很有参考意义。

　　

　　其余题目不再解析，每一套试卷都有几道很有启发意义的题目，多看多做才能更快的进步，最近在研究整理数列的函数性和数列放缩与不等式结合，后期会将此类问题的一般性和常规解题思路整理分享出来。

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