2021上海杨浦区中考数学填空压轴题：考验考生的数学思维的好题

　　这是上海市杨浦区2021中考数学填空的压轴题。大城市的题目的确有些不一样，题目得出答案不难，但要理解透彻需要很好的数学功底，对学生的数学思维的挑战很大。

　　定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形处有一点P，OP=2，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离的取值范围为_________.

　　分析：其实题目最后的问题改成：“点P到正方形的距离的取值范围”就可以了。没有必要加上“最短”两字，因为点P到正方形的距离的定义，指的就是点到正方形上所有点的最短距离。题目加上最短距离，严格来说，其实是距离的最小值，即要求距离最小值的取值范围，其实这是矛盾的，这是这道题出得不够严谨的地方。数学讲究的就是一个严谨。我们只能理解出题人的意图，讲的就是距离的取值范围，而不是最小距离的取值范围。这些话有点啰嗦，但我觉得研究数学的话，有必要搞清楚这些问题。

　　会分析点P到正方形距离的最小值。正方形在旋转时，会形成一个圆，

　　由图不难发现，点P到圆的距离不大于点P到正方形的距离，而“点到圆的最短距离在过圆心的直线上”，因此，正方形顶点在OP上时，所求最短距离最小，如图1：

　　此时，PA=OP-OA=2-根号2，就是点P到正方形距离的最小值。

　　再来分析最大值。其实最大值很容易找到，如图2，当OP垂直正方形边于点E时，

　　PE=OP-OE=1就是所求最短距离的最大值.

　　∴点P到正方形的最短距离的取值范围为[2-根号，1].（答案可写成其

　　不过现在对最大值其实还有几个疑问：

　　(1)为什么PE是点P到正方形的距离中的最大值？而不是其它情况。

　　如图3，过P作PE⊥AD于点E，当点E在线段AD上时，PE是点P到正方形的最大距离，

　　记OP交AD于点F，过O作OG⊥AD于G，则OG=1，

　　因为△PEF∽△OGF，所以PE=PF/OF=2/OF-1，【这个容易证明，请自行解决】

　　可见OF越小，PE越大，

　　而当OP⊥AD时，OF最小，PE最大，且E，F重合. 所以PE的最大值距离就是与PF重合时，此时是点P到正方形的最大距资讯影评离。

　　(2)那如果点E在DA的延长线呢？

　　此时PA是点P到正方形的最短距离，但仅当∠PAF是钝角时，会出现这种情形。而钝角∠PAF所对的边PF>PA，加上图2中是PF(与PE重合)最大的情形，所以图2的PE是点P到正方形的最大距离。

　　(3)以上主要分析左侧的情形，右侧是否一致呢？

　　当然，因为圆和正方形都有对称性，所以两侧的情形是相同的。

　　这道题的答案不难得到，但是原理却非常复杂。考试时，我们只要知道答案就好了，但那带有蒙的性质，平时学习，我们就要把它彻底搞明白，否则数学很难真正学好。由于出题人把点到图形的距离和点到图形的最短距离搞混淆了，造出老黄讲解时可能出现一些失误，请大家见谅。另外，老黄是本着一种和大家一起探讨的态度来的，如果出现其它错误也正常，请多多理解。

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