2017考研數學：透過歷年真題讀懂大綱

　　考研數學大綱是考研復習的權威依據。它針對每一部分內容規定了“考試內容”和“考試要求”。不過，隻看考綱恐怕不能完整把握考研要求。如考綱提到“掌握極限的性質及四則運算法則”，這提醒考生極限的性質和四則運算法則是重要考點，須掌握。可是考試到底怎麼考?要達到什麼程度(會做哪幾類題)才算掌握?光盯著考綱看是得不到讓人滿意的答案的。怎麼辦?把歷年真題請出來就好了：找出歷年真題中與極限性質四則運算法則相關的考題。解題，分析題，總結題，答案就浮出水面了。換句話說：考綱和真題雙劍合璧，才能完整把握考研數學的要求。下面筆者和考生一起結合真題讀考綱。

　　一、函數、極限、連續

　　模塊

　　考試內容

　　真題題型

　　函數

　　定義

　　建立函數關系（如數三根據經濟背景列出利潤的函數關系式）。

　　運算（四則運算、復合、反函數）

　　1.求復合函數或某函數的反函數的解析式。

　　2.結合函數運算判斷函數的性質（如“連續加連續=連續，連續+間斷=間斷”）。

　　性質（有界性、單調性、周期性、奇偶性）

　　1.單獨以選擇題的形式考察函數是否具有該性質。

　　2.運算過程中利用該性質化簡（如無窮小乘以有界量等於無窮小量，奇函數在對稱區間積分值為零）。

　　分類（基本初等函數、初等函數、分段函數、隱函數、參數方程定義的函數、變上限積分函數）

　　識別各類函數，並作進一步討論（如識別該函數為隱函數，並求導數）。

　　極限

　　定義（數列極限、函數極限、左極限、右極限、無窮小、無窮大）

　　概念題。

　　性質（唯一性、有界性、保號性）

　　有界性考概念題，保號性結合其他考點（極值、拐點、級數）考查。

　　計算（四則運算法則、洛必達法則、等價無窮小替換、夾逼定理、單調有界必有極限原理、重要極限、泰勒公式）

　　極限計算是必考題。

　　連續

　　定義

　　根據定義判斷函數在一點、開區間以及閉區間的連續性。

　　間斷點

　　求給定函數的間斷點（找“可疑點”，再按照間斷點的分類標准一一判斷）。

　　初等函數的連續性

　　利用初等函數的定義識別初等函數，並利用此處的結論判斷其連續性。

　　閉區間上連續函數的性質

　　用此處結論（最值定理、介值定理、零點定理）做中值相關証明題 。

　　二、一元函數微分學

　　模塊

　　考試內容

　　真題題型

　　導數定義

　　導數定義

　　湊定義算極限、可導的充要條件。

　　微分定義

　　由微分定義得出的微分的計算公式。

　　可導、可微、連續之間的關系

　　分段點處的連續性與可導性。

　　導數計算

　　求導公式、法則

　　求一元函數導數，求多元函數的偏導數。

　　常考類型

　　冪指函數求導、參數方程確定的函數求導和隱函數求導。求高階導數。

　　導數應用

　　切線與法線

　　求切線方程、法線方程以及曲線相切問題。

　　單調性

　　求函數的單調區間或証明函數的單調性，不等式証明，根或零點問題。

　　極值

　　找極值點或極值（利用極值的必要條件和充分條件）。

　　凹凸性

　　求函數的凹凸區間或判斷函數的凹凸性。

　　拐點

　　找拐點（利用拐點的必要條件和充分條件）。

　　漸近線、曲率

　　求函數的漸近線（用漸近線的定義）。數一數二要求會用曲率的計算公式算曲率，利用曲率圓和曲率半徑的概念解題。

　　中值定理

　　中值定理（費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）

　　中值相關証明（從待証式子出發，分析選擇哪類定理（連續相關定理、微分相關定理、積分相關定理））。用泰勒公式算極限。

　　三、一元函數積分學

　　模塊

　　考試內容

　　真題題型

　　不定積分

　　原函數與不定積分

　　根據原函數與不定積分的關系求不定積分。

　　性質

　　利用性質化簡不定積分。

　　計算

　　考查湊微分法、根式的處理、分部積分法。有理函數積分，三角有理式的積分，指數有理式的積分。

　　定積分

　　定義

　　利用定義算極限（先由定積分的定義推出基本公式，在將所求極限湊成公式的形式（可分兩步走“湊i/n”，“提1/n”），再將極限化為定積分，通過算定積分間接算極限）。利用定義體現的微元法思想處理應用問題。

　　性質

　　利用性質對定積分變形。單獨考查比較定理（考研考查定積分的比較本質上都在考查比較定理）。

　　微積分基本定理

　　變限積分求導定理的証明。利用變限積分求導定理求變限積分的導數（由變限積分和另一函數構造的復合函數，被積函數同時含有積分變量和求導變量）。利用牛頓萊布尼茨公式計算定積分。

　　定積分應用

　　幾何應用

　　平面圖形的面積（直角坐標系下曲邊梯形的面積和極坐標系下曲邊三角形的面積），簡單幾何體的體積（包括旋轉體的體積）。數一數二考查曲線弧長和旋轉體的側面積。幾何應用側重套公式計算。

　　物理應用

　　數一數二考查變力做功，形心質心和液體的靜壓力（利用微元法推出基本公式）。物理應用側重套利用微元法推導。

　　廣義積分

　　定義

　　利用定義判斷廣義積分的斂散性。

　　計算

　　計算廣義積分（可視為“定積分+取極限”）。

　　同學們在學習每一個知識點的過程中，要做好筆記。對於自己不理解的地方要標記出來，便於后期進行查漏補缺。每做完一道題目，要明白其解題思路，對於解題過程中所用到的方法、技巧進行歸納總結，今后再遇到同類型題目時，不費吹灰之力便可解決。如在求解極限的題目中，什麼時候使用洛必達法則、等價無窮小，這種解題技巧有必要進行總結。