2019年天津市中考数学试卷、点评、精析
2019年天津市中考数学试卷
2019年天津市中考数学试卷考点精析
1．有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得 0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于 0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，
当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因
数为 0，积就为 0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看 0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
2．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于 10的数记成 a×10n的形式，其中 a是整数数位只有一位的
数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中 1≤a＜10，
n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中 a的要求和 10的指数 n的表示规律为关键，由于 10 的指数比原来的整数
位数少 1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出 10的指数 n．
②记数法要求是大于 10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于 10的负数同样可用
此法表示，只是前面多一个负号．
3．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
4．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
aman＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：amanap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在
运用时要抓住"同底数"这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变
形为同底数幂．
5．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，
经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是
多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为
较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分
式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的
分式来说的．
6．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次
根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面
的．
②在运算中每个根式可以看做是一个"单项式"，多个不同类的二次根式的和可以看作"多
项式"．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当
的解题途径，往往能事半功倍．
7．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，
将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式
代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求
出 x（或 y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤
把求得的 x、y的值用"{"联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数
的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相
等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元
一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程
组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，
就得到原方程组的解，用{x＝ax＝b的形式表示．
8．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意"两定"：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，
若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是："小于向左，大于向右"．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为 x＞a，其验证方法可以先将 a代入原不等式，则两边相等，其
次在 x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
9．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组
成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，
再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
10．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到 x轴的距离与纵
坐标有关，到 y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距
离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，
是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用"割、补"法去
解决问题．
11．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数 y＝kx+b，（k≠0，且 k，b为常数）的图象是一条直线．它与 x轴的交点坐标是（﹣
，0）；与 y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 y＝kx+b．
12．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科
学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根
据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
13．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数 y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在 y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向 x轴和 y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形
的面积是定值|k|．
14．二次函数图象与系数的关系
二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数 a决定抛物线的开口方向和大小．
当 a＞0 时，抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|
越大开口就越小．
②一次项系数 b和二次项系数 a共同决定对称轴的位置．
当 a与 b同号时（即 ab＞0），对称轴在 y轴左侧； 当 a与 b异号时（即 ab＜0），对称轴在
y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项 c决定抛物线与 y轴交点． 抛物线与 y轴交于（0，c）．
④抛物线与 x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与 x轴有 2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与 x轴有 1个交
点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与 x轴没有交点．
15．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣ ， ）．
①抛物线是关于对称轴 x＝﹣ 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足
函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与 y轴交点的纵坐标是函数解析中的 c值．
③抛物线与 x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其
对称轴为 x＝ ．
16．抛物线与 x轴的交点
求二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与 x轴的交点坐标，令 y＝0，即 ax2+bx+c
＝0，解关于 x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程 ax2+bx+c＝0
根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与 x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与 x轴有 2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与 x轴有 1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与 x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛
物线与 x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
17．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系
式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即
为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键
是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，
并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立
直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的
取值范围要使实际问题有意义．
18．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平
方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式 a2+b2＝c2 的变形有：a＝ ，b＝ 及 c＝ ．
（4）由于 a2+b2＝c2＞a2，所以 c＞a，同理 c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形
中的每一条直角边．
19．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有 2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ ab．（a、b是两条对角线的长度）
20．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，
有四条对称轴．
21．四边形综合题
四边形综合题．
22．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不
可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能
技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形
的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其"桥梁"﹣﹣﹣圆心角
转化．③定理成立的条件是"同一条弧所对的"两种角，在运用定理时不要忽略了这个条
件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
23．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：
①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：
见切点，连半径，见垂直．
24．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方
法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解
成基本作图，逐步操作．
25．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的
两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至
无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
26．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，
位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到
图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求
的线段长为 x，然后根据折叠和轴对称的性质用含 x的代数式表示其他线段的长度，选择适
当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设
出正确的未知数．
27．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角
等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②
旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
28．特殊角的三角函数值
（1）特指 30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝ ； cos30°＝ ；tan30°＝ ；
sin45°＝ ；cos45°＝ ；tan45°＝；
sin60°＝ ；cos60°＝ ； tan60°＝ ；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦
逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特
点，在解直角三角形中应用较多．
29．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形
中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式
给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
30．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一
个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
31．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的
信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情
况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与
方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越
精确．
32．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分
数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表
示总数（单位 1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式
是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一
个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
33．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，
然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
34．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的
一项指标．
（2）算术平均数：对于 n个数 x1，x2，…，xn，则 ＝ （x1+x2+…+xn）就叫做这 n个数的
算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均
数中的权相等时，就是算术平均数．
35．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间
位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的"中点"，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数
据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出
现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用
中位数描述其趋势．
36．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相
同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集
中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
37．概率公式
（1）随机事件 A的概率 P（A）＝
（2）P（必然事件）＝
（3）P（不可能事件）＝
2019年天津市中考数学试卷答案
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