2022北京市丰台区高三一模数学，填空压轴题解析，能力立意！

　　2022年北京市丰台区高三一模数学试卷填空压轴题，题目出得漂亮！

　　本题特别契合北京高考精神，一、突出对数学主干知识（立体几何与空间向量）和思想方法（运动与变化思想、化归与转化思想、函数思想、归纳与综合思想等）的考查；二、对于数学素养（数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算）考查突出；三、试题具有开放性，作答方式多样化，提供从多个入口解决问题（综合几何方法与空间向量方法、距离转化方法与函数方法等）的场景，凸显对问题解决能力的考查．

　　原题如下：

　　

　　我们逐个结论进行分析（赏析）：

　　第一个结论

　　多面体的截面问题，通过交线法（见下图），可以做出截面及相应截线，从而判定截面图形是五边形．同学们都知道正方体的截面最多是六边形，现在有一个“截点”恰好在正方体的顶点，直观想象一下，截面图形是五边形，并不需要精确的做出这个截面．该结论正确．

　　

　　第二个结论

　　直线B1D1到平面CMN的距离，这是线面距离．基本思路是：转化为点面距离，比如点B1到平面CMN的距离．接下来，可以建立空间直角坐标系，通过空间向量的计算求解，这里不赘述．

　　也可以用等体积法（见下图）．容易看出：空间四面体（三棱锥）B1－CMN的底面△CMN的面积容易计算，而将该空间四面体看成以C为顶点的三棱锥C－B1MN，体积容易计算，于是利用等体积法，可以求出点面距离．

　　

　　一般而言，我们总是把问题解决的突破口，选取在“特殊位置”．从此处出发，问题迎刃而解．

　　第三个结论

　　存在点P，使得∠B1PD1=90°．事实上，我们先研究一下临界点，当点P处于点M的位置，显然，∠B1MD1>90°；当点P处于点C的位置，显然，∠B1CD1<90°．从运动与变化的观点来看，点P在线段上连续移动，则∠B1PD1也会连续变化，中间必然经过（取得）90°．本结论正确．

　　本结论实在没有必要设点P的坐标，然后由点P在线段CM上限定坐标的范围，再根据90°利用向量内积为0列出方程，求解后判断是否在刚才的范围之内．

　　可以看出，从运动与变化的观点来看，本结论秒判．

　　第四个结论

　　△PDD1面积的最小值，可以用空间向量进行计算．

　　如下图，事实上，进一步分析三角形的面积最值，其底边DD1是确定的，因而最值条件是：线段MC上的点P到DD1的距离最短．这实际上是异面直线（MC与DD1）的距离．线线距离转化为线面距离（DD1与平面CC1M），再转化为点面距离（点D1与平面CC1M），接下来，可以用等体积法求解这个距离．

　　

　　综上，本题答案：①③．

　　本题目在解决路径上具有开放性，凸显对问题解决能力的考查．要求学生能够快速评估解题的入口和方法，如果路径选取不佳，则要消耗更多的时间．这里，直观想象的数学素养，运动与变化的观点，化归与转化的思想等，都尤为重要！

　　所以，本题以能力立意，出得漂亮！同学们认真体会！

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