三角恒等变换方法、技巧与结论，助你攻克高中数学三角函数问题

　　0. 必备基础（要点）

　　1) 任意角、弧度制、任意角三角函数定义；

　　2) 同角三角函数基本关系式、诱导公式以及和角、差角、半角、倍角、辅助角的有关公式；

　　3) 三角函数图像、图像变换及其性质。

　　1. 基本问题说明

　　一般地，很少会把三角恒等变换问题作为单独一个题目出现在考试中——即使有，也多见于单元测验或模块测评中。

　　但是，三角函数的多数问题，如求值问题、求角问题、参数问题等，一般都需要先进行三角恒等变换，也即三角恒等变换作为一个中间问题广泛存在于各种三角函数题型中，以达成简化式子、方便计算或变形/变换的目标。

　　换句话说，三角恒等变换是求解很多三角函数有关题目的关键一环。而且，这些题目的难度很多时候会体现在三角恒等变换上，因为其中涉及的技巧多且应用灵活。

　　因此，本文特把“三角恒等变换”作为一个独立的三角函数基本问题来论述。这样，一方面可突出该基本问题的重要性，另一方面可系统地归纳与总结相关的一般方法、技巧与结论，有助于更完整、全面地掌握它们。

　　2. 解决问题的一般解法

　　三角恒等变换的本质是得到所需形式的代数式——既可能是化简也可能是变形、甚至还可能是化繁（当然，多数情况下最终会得到一个更简化的结果）。因此，三角恒等变换首先就要明确变换的目标，正所谓有的放矢。做好这点甚至比下述技巧更重要，往往起到事半功倍之效果。

　　切忌在还未弄清已知与未知之间的关系或联系，也未确定大致变换思路时，就开始盲目套公式和运算！

　　明确了大致的方向与目标，即可利用下述常用方法、技巧（俗称‘招数’）与结论进行三角恒等变换：

　　1) 角的变换- 将角度凑成或者变换成特殊角或所期望的角

　　提示： 不要求强记上面这些凑角的具体方式，但需要具备这种思维意识与方法，并抓住其本质——所凑角为已知角与待求角之间“纽带”。

　　2) 正余弦和差式的平方互化

　　① 不同角时，可先得到正余弦和差式的平方，再根据所求问题把平方的结果进行加或减运算，即可建立已知角与待求角之间的联系！

　　如已知sinx-siny和cosx-cosy，求sin(x+y)或tan(x+y)。

　　② 同角时，利用平方关系(cosα)^2 + (sinα)^2 = 1以及正余弦和差式的平方，可在sinx + cosx、sinx –cosx和sinxcosx三项中，知一求二！

　　3) 正切和差式的知二求一

　　由正切和差角公式可知，tan(α)±tan(β)、tan(α±β)、tan(α) tan(β)三项中，知二求一。

　　4) 弦切互化

　　① 由商数关系tanx = sinx/cosx (tanxcosx = sinx)，在代数式为同次分式、二次分式等场合中，有时可通过弦切互化来便捷地求解问题。

　　② 利用倍角公式，可将两不同角的正余弦和差式，转化为两半角和或差的弦切函数。如已知sinx-siny和cosx-cosy，可先得出中间结果tan((x±y)/2)。（提示：根据三角函数‘知一求所有’，可得sin((x±y)/2)等其余同角函数值）

　　5) 升、降幂法–升、降幂是三角变换时常用的方法。

　　利用降幂公式（有时要结合(cosα)^2 + (sinα)^2 = 1），将高次三角函数降幂，使之与已知条件或某个可知条件的关系更近、甚至直接对接上，或者是为了简化三角函数式，使运算更简捷。

　　6) 函数名称的变换

　　一般地，三角变换时，有时需要将函数名称变换为同名函数。在三角函数中正余弦是基础，通常可化切为弦，变异名为同名（注意，此为一般原则，但不要绝对化）。

　　7) 常数代换

　　在三角函数运算、求值或证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如：。

　　8) 公式变形

　　三角恒等式是变换的依据，应熟练掌握三角恒等式的顺用、逆用及变形应用。

　　9) 配对法

　　10) 换元法

　　整体地代换某些因子，可避免不必要的展开，减低解题过程的繁杂程度和减少失误。

　　提示：三角换元与根式换元是换元法常用的两种情形。

　　11) 方程法

　　一般地，当题设有n个未知数时，若能找出或构造出n个方程（即等式），则可通过解方程组方便地求解这n个未知数

　　提示1：不要遗漏隐式的同角基本关系式(cosα)^2 + (sinα)^2 = 1；

　　提示2：方程思想是数学的重要思想之一，也是三角函数相关问题的基本方法。

　　12) 讨论法

　　将问题化整为零、化难为易；适用于有绝对值号、未确定象限的角、含参问题等情形。

　　13) 平方法

　　是升幂的方法之一，常与“(cosα)^2 + (sinα)^2 = 1”结合来解题。这种方法并不少见，且适用时效果往往很好。如通过平方可使sinα±cosα与sinαcosα互化。

　　14) 图像法

　　利用三角函数图像及其性质，可方便、高效地进行直观分析，进而便捷地求解问题。该方法要求同学具备快速、准确地画（草）图的能力。

　　15) 比例法

　　利用合比定理 a/b=c/d=(a+c)/(b+d),有时可方便地求解分式三角函数问题。

　　16) 项的分拆

　　17) 万能代换法（即万能公式）

　　将不同三角函数都化成半角的正切或化成倍角的余弦，但一般有运算复杂且量大的缺点，适用于某些特定情形。

　　提示：适用于cosα可知的情形，但具有运算复杂且量大的缺点。

　　19) 引入辅助角

　　详见本号基础知识文章“系统化，轻快学习高中数学三角函数之三角恒等变换有关必备知识”中有关“辅助角”的内容。

　　提示：除了上述众多招数，也得熟知三角恒等变换的一般原则，包括有的放矢、与诱导公式有关的‘三化’原则即“负角正化、大角小化、钝角锐化”、以及与恒等变换有关的‘三同’原则即“同名、同角、同次”。

　　20) 几个常见重要结论(可通过有关的已知公式、定理与性质推导出来）

　　③ 一个重要不等式：0<α<π/2，sinα<α<tanα (利用单位圆来巧妙地证明)。

　　④ 三角形中，有sinA = sin(B+C)、cosA = -cos(B+C)、sin(A/2) = sin[(B+C)/2]。

　　⑤ 在任意非直角三角形中,有tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC。

　　3. 典型例题

　　提示：三角恒等变换是多数求三角函数值与求角度值问题的关键环节，而后文将有专题讲述求三角函数值与求角度值问题的方法与技巧，因此此类典型例题不是本文重点，以免赘述。

　　例1已知f(x)=(sinx)^2 +√3sinxcosx + 2(cosx)^2,

　　(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；

　　(2)求函数f(x)的单调区间。

　　讲解：

　　① 有关三角函数的复杂函数性质问题，可以运用辅助角公式，把函数式恒等变换为只有一个整体角的三角函数形式——即正弦型函数或余弦型函数，然后再利用三角函数的性质来求解。这是处理三角函数问题的常见思路之一。

　　② “倍角与辅助角结合”是高考考查正弦型函数的一种常见题型。

　　③ 由解题过程可知，三角恒等变换是快速、准确解题的关键，而三角函数的概念及其性质是该类题型的基石。

　　例2 在三角形ABC中，已知sinAsinBsin(C-θ)= λ(sinC)^2，其中tanθ= 1/2(0<θ<π/2)，若1/tanA+1/tanB+2/tanC为定值，则实数λ=?

　　讲解：

　　① 本题要求实数λ的值，由已知条件“sinAsinBsin(C-θ)= λ(sinC)^2”显然无法解出，因为A、B、C未知；因此，只能从“1/tanA + 1/tanB + 2/tanC为定值”这个条件入手。

　　由已经学过的含参直线方程恒过定点问题的解题一般方法可知，在已知条件不足以直接求解时，常利用“分离参数 + 等式0×a=0的性质”的组合方法来求解。本题可参考类似思维，1/tanA + 1/tanB + 2/tanC为定值即为常数，则意味着其结果与变量A、B、C无关，即含变量A、B、C的项的系数应为0。由此，可得到我们所需要的等式，进而求得λ。

　　熟练掌握上述基本技能是确定本题解题思路的关键！

　　② 有了解题思路，接下来对1/tanA + 1/tanB + 2/tanC进行三角恒等式变换：一方面把已知式中的λ引进到这个式中来，另一方面再将这个式子变换、化简为“常数单项或多项式 +（未知数单项或多项式）(含待求参数且不含未知数的单项或多项式)”的形式。

　　依题意可知系数即‘含待求参数且不含未知数的单项或多项式’应为0，由此得到待求参数的一个等式，然后解方程即可得解。

　　例3已知sin(2α+β)=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，设y=f(x)。

　　(1)求证：tan（α+β)= 2tanα；

　　(2)求f(x)的解析式。

　　讲解：

　　① 本题演示了凑配角方法的应用，其关键在于始终瞄准待求问题所需要的角。

　　温馨提示：本文属于高中数学《三角函数与平面向量》模块，更多资料正在创作中。欢迎持续关注——点击顶部的“关注”按钮即可关注本号“轻快学习课堂”(关注后记得看系统推送的被关注消息，有大礼！）。

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