初中数学培优七年级下第十八讲方程思想例题和习题都很经典

时间：2023-02-03

　　中国目前初中数学教育大纲基于以下这个情况，即绝大多数人现实生活中只会用到三年级以下的数学，因此难度下降很大，属于普遍教育。而高中数学的难度并没有下降，因此初高中之间的衔接存在着很大的困难。

　　我曾经遇到过本地区最好的公办初中的一个学生，她在初中排在年级前20名（年级总共500多学生），但是进入高中后感觉非常吃力，跟不上进度。和她交流后我一句话概括，现在的初中数学要求太低，难度太低。

　　本系列专题讲座的习题和例题都来自各年中考题以及重点高中的自招题，难度高于中考的平均程度，差不多是重点高中的自招难度。

　　系列里面许多解题方法和扩展的知识对进入高中后的数学学习是极其必要的补充。

　　系列的习题和例题都在不断丰富和更新中。

　　初中数学培优七年级下第十八讲方程思想例题和习题都很经典

　　方程思想是初中数学的几个重要思想之一，因此每个学期的讲座我都会讲，天天讲，就是因为它太重要了。

　　所谓方程思想是指从分析问题的数量关系人手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式。方程思想最大的作用：在解决问题过程中，把未知量当成已知量，大大降低了难度。

　　用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)，这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用，所以要特别注意以下几点：

　　(1)要具有正确列出方程(组)的能力。有些数学问题需要利用方程(组)解决,而正确列出方程(组)是关键，因此要善于根据已知条件，寻找等量关系列方程(组)。

　　(2)要具备用方程思想解题的意识，有些几何问题表面上看起来与代数问题无关，但是要利用代数方法——列方程(组)来解决，因此要善于挖掘隐含条件，要具有用方程思想解题的意识。还有一些综合问题，需要通过构造方程(组)来解决，在平时的学习中，应该不断积累用方程思想解题的方法。

　　(3)要掌握运用方程思想解决问题的要点。除了实际应用题之外，几何的计算问题也常常用到方程思想，今后的学习中经常需要用到方程思想的还有一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、方程、函数、不等式的关系等内容。

　　三、例题精选

　　例1为确保信息安全,信息需要加密传输,发送方由明文翻译成密文(加密)，接收方由密文翻译成明文(解密)。已知加密规则：明文a,b,c对应密文a+1,2b+4,3c+9.例如明文1,2,3对应密文2,8,18。如果按收方收到密文7,18,15,则解密得到的明文为( ).

　　A.4,5,6 B.6,7,2 C.2,6,7 D.7,2,6。

　　解析：虽然题目简单，但是错误率很高，因为没有搞清哪个是明文和哪个是密文。学生的审题能力，阅读能力都是要加强的。

　　答案：B。

　　例2如图,将一副三角尺的直角顶点重合在一起。

　　(1)若∠BOD与∠AOD的度数之比是2:11,求∠BOC的度数;

　　(2)若叠合所成的∠BOC=n°(0<n<90),则∠AOD的补角的度数与∠BOC的度数之比是多少?

　　解答：这种题目容易漏答。最好的方法就是考试时，拿三角板按图示组合后现场模拟转一下。

　　（1）根据旋转的过程，分类讨论（最好画一下）：设∠BOD=x°，

　　当A、B点同在OD上侧时，则∠AOD=90°+x°，由题意：,解得x=20，此时∠BOC=90°-20°=70°；

　　当A、B点在线段OD异侧时，∠AOD=90°-x°，由题意：，解得x=，此时∠BOC=90°+=°

　　当A、B同在线段OD下侧时，无解。

　　（2）由题（1）可知，若叠合成的∠BOC=n°(0<n<90)，那么A、B肯定同在线段OD上侧。

　　∴∠BOD=90°-n°。∠AOD=90°+∠BOD=180°-n°，∴∠AOD的补角=180°-（180°-n°）=n°。

　　∴∠AOD的补角的度数与∠BOC的度数之比=1:1。

　　例3 在4点和5点之间，时针和分钟在何时能成下面的角度，假设分针时针都是匀速转动。

　　（1）120°；（2）90°

　　解答：本质上这是个追及问题。当在4点整时，时针和分针成120°角，相当于出发点不同的追及问题。

　　（1）

　　分针一个小时走一圈，即360度，设分针走了x分钟，则相当于走了（6x）°；

　　时针一个小时走30度，分针走x分钟，那么时针走了(0.5x)°。

　　时针和分针夹角120°，随着时间走动，按顺时针方向，存在两个情况：一、分针是夹角的始边；二、时针是夹角始边，画图会更清楚。

　　第一种情况：6x-0.5x=120-120，解得x=0，舍去；

　　第二种情况：6x-0.5x=120+120;解得x=.

　　即4点；

　　（2）根据题（1）分析，也分两种情况讨论：

　　第一种情况（如题1情况）：6x-0.5x=120-90；解得x=5.

　　第二种情况：6x-0.5x=120+90；解得x=；

　　即在4点5，时针和分针夹角90°。

　　例4江堤边一注地发生了管涌,江水不断地涌出,假定每分钟涌出的水量相等,若用2台抽水机抽水,则40分钟可抽完;若用4台抽水机抽水,则16分钟可抽完.如果要在10分钟内抽完水,那么至少需要抽水机几台?

　　解析：这是一个牛吃草的问题，牛对应抽水机，水相当于草，边抽边漏相当于边吃边长。

　　这类题目通过设而不求的方法，充分地体现了方程思想中把未知条件当做已知条件使用的优势。

　　设已有的管涌量为a，每分钟管涌量为b，一台抽水机每分钟抽水c，

　　则：；

　　①-②得16c=24b，即c=1.5b，代入①得a=80b

　　要在10分钟后抽完，需要抽水机=6台。（这步不要再设方程，浪费时间）。

　　例5 规定运算x*y=ax+by-cxy，其中a,b,c为已知数，若1*2=3,2*3=4,且对于任意有理数x，等式x*m=x恒成立（m≠0），求m的值。

　　解析：解题的过程是一步步来。

　　比如此题，给了2个新运算的实例，但是新运算中存在3个参数a、b、c，那么我们可以考虑把两个参数（比如a、b）用含第三个参数（比如c）的代数式表达出来。

　　由题意：；

　　①得：b+2c=2，即b=2-2c代入①得a=-1+6c;

　　即x*y=（6c-1）x+(2-2c)y-cxy;

　　x*m=（6c-1）x+(2-2c)m-cmx

　　等式x*m=x恒成立,

　　即（6c-1）x+(2-2c)m-cmx=x③恒成立；

　　这是一个带参数的一元一次方程。

　　对于任意x等式恒成立，即一元一次方程有无数解，那么必然最后整理成kx=d的形式，其中k=d=0;

　　对③进行整理：（6c-1-cm-1）x=m(2-2c);

　　由分析可知：;

　　∵m≠0,∴c=1,m=4.

　　即m=4是所求值。

　　四、练一练

　　1、某书店把一本新书按标价的九折出售,仍可获利20%,若该书的进价为21元,则标价为()

　　A.26元 B.27元 C.28元 D.29元

　　2、有一个圆形跑道分为内、外两圈,半径分别为30m,50m.小红在内圈以等速行走,小明在外圈以等速跑步.已知小红每走一圈,小明恰好跑了两圈.若小红走了45m,则同时段小明跑了( )

　　A . 90 m B . 120 m C . 150 m D . 180。

　　3、某石油进口国这几个月的石油进口量比上个月减少了5%，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%。求这个月的石油价格相对上个月的增长率。

　　4、2008年5月1日,目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了.通车后,苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120km.已知运输车速度不变时,行驶时间将从原来的3h20min缩短到2h.

　　(1)求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程;

　　(2)若货物运输费用包括运输成本和时间成本,已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元,时间成本是每时28元,那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元?

　　5. 某景点的门票价格规定如下表:

　　某校七(1)班和七(2)班共104人去该景点游览，其中七(1)班人数较少，不到50人，七(2)班人数较多，有50多人。经估算，若两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元;若两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节省不少钱。问：两班各有多少名学生?联合起来购票能省多少钱?

　　6. 8人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人(不包括司机)。其中一辆车在距离火车站15km的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有42min。这时唯一可利用的一个交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h，而步行的平均速度是5km/h。试设计两种不同方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站。

　　7. 公交车由始发站A站开出向B站行进，与此同时，小强和小明分别从A,B两站同时出发，小强由A向B步行，小明骑自行车由B向A行驶，小明的速度是小强的3倍，公交车每隔相同时间发一辆车。小强发现每隔20min有一辆公交车追上他，而小明也发现每隔10min就遇到一辆公交车。

　　(1)求两辆公交车发车的间隔时间;

　　(2)若AB两站相距12km,公交车的速度为30km/h.问在行进途中(不包括起点和终点),小强被几辆公交车追上，小明又遇到了几辆公交车?

　　答案：

　　1、利润问题核心：利润=

　　设标价x元，则（0.9x-21）%=20%，解得x=28元，选C

　　2、直接用比例算小红和小明的速度比：

　　选C。

　　3、设上月进口油数量为x，则，本月进口油数量为0.95x，上月油价y，本月油价z，则由题意0.95xz=1.14xy，则=1.2,

　　本月油价相对上月油价的增长率==20%。

　　题目简单，看清楚要求：求增长率。

　　4、（1）不用方程：走跨海大桥路程少120公里，时间少80分钟，那么时速为1.5km/分钟，合90km/h，因此走跨海大桥的路程为180km。