初一数学几何压轴题精选：会运动的角与线段

时间：2023-02-05

　　1. ( 15分 ) 如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板(∠M=30°)的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边0M与OC都在直线AB的上方．

　　（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC．①求t的值；②此时0N是否平分∠AOC?请说明理由；

　　（2）在(1)问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠MON?请说明理由；

　　（3）在(2)问的基础上，经过多长时间0C平分∠MOB?请画图并说明理由．

　　【答案】（1）解：①∵∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB，

　　∵∠AOC=30°，

　　∴∠BOC=2∠COM=150°，

　　∴∠COM=75°，

　　∴∠CON=15°，

　　∴∠AON=∠AOC-∠CON=30°-15°=15°，

　　解得：t=15°÷3°=5秒；

　　②是，理由如下：

　　∵∠CON=15°．∠AON=15°，

　　∴ON平分∠AOC

　　（2）解：5秒时OC平分∠MON，理由如下：

　　∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，

　　∵∠MON=90°，

　　∴∠CON=∠COM=45°，

　　∴三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，

　　设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，

　　∴∠AOC-∠AON=45°，

　　可得：6t-3t=15°，

　　解得：t=5秒：

　　（3）解：OC平分∠MOB

　　∴∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，

　　∴三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，

　　设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，

　　∴∠COM为 (90°-3t)÷2，

　　∵OC平分∠MOB，

　　可得：180°-(30°+6t)= (90°-3t)÷2，

　　解得：t= 70/3 秒；

　　如图：

　　【考点】一元一次方程的其他应用，角的平分线，角的运算

　　【解析】【分析】（1） ①根据角平分线结合已知条件可得∠COM=75°，从而求得∠CON=∠AON=15°，根据旋转即可求得时间t；

　　②由 ①知∠CON=∠AON=15°，从而可得ON平分∠AOC.（2）根据角平分线结合已知条件可得∠CON=∠COM=45°，根据题意可设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，由∠AOC-∠AON=45°，列出方程，解之即可. （3）根据题意可设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，由角平分线和邻补角可得180°-(30°+6t)= (90°-3t)÷2，解之即可.

　　2. ( 11分 ) 以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝60°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．

　　（注：∠DOE＝90°）

　　（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝________；

　　（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线；

　　（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好∠COD＝ 0.2 ∠AOE，求∠BOD的度数？

　　【答案】（1）30（2）解：∵OE平分∠AOC，

　　∴∠COE＝∠AOE＝ 0.5 ∠COA，

　　∵∠EOD＝90°，

　　∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，

　　∴∠COD＝∠DOB，

　　∴OD所在射线是∠BOC的平分线

　　（3）解：设∠COD＝x，则∠AOE＝5x．

　　∵∠AOE+∠DOE+∠COD+∠BOC＝180°，∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，

　　∴5x+90°+x+60°＝180°，

　　解得x＝5°，

　　即∠COD＝5°．

　　∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝5°+60°＝65°

　　∴∠BOD的度数为65°

　　【考点】角的平分线，角的运算

　　【解析】【解答】（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，

　　又∵∠COB＝60°，

　　∴∠COE＝30°，

　　故答案为：30；

　　【分析】（1）根据角的和差，由∠COE=∠BOE-∠COB即可算出答案；（2）根据角平分线的定义得出 ∠COE＝∠AOE＝ 0.5 ∠COA，根据角的和差及平角的定义得出 ∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，根据等角的余角相等得出 ∠COD＝∠DOB，故 OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）设∠COD＝x，则∠AOE＝5x ，根据平角的定义得出 5x+90°+x+60°＝180°，求解算出x的值，从而求出∠COD的度数，进而根据 ∠BOD＝∠COD+∠BOC 即可算出答案。

　　3. ( 13分 ) 阅读下面的材料：

　　如图1，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB=b-a．请用上面的知识解答下面的问题：