2023年高考甲卷理科数学真题，掌握基础知识，12分轻松到手

　　2023年高考数学的整体难度比去年要小，而且更加注重对基础知识和基本方法的考查。比如这道2023年高考甲卷理科数学的第20题，虽然是一道圆锥曲线(抛物线)的题目，但是只要基础知识掌握得好，这12分便可以轻松拿到手。

　　

　　先看第一小问：求p的值。

　　题干中告诉了我们抛物线的一条弦AB的长度，所以我们就可以利用弦长公式来求解。

　　先将直线方程和抛物线方程联立，消去x或y，本题中很明显消x更简单，所以本题选择消去x，整理后得到一个关于y的一元二次方程，即y^2-4py+2p=0。如果设A(x1,y1)、B(x2,y2)，那么根据韦达定理可得y1+y2=4p，y1y2=2p。接着再代入弦长公式，即|AB|=√[1+(1/k)^2]·√[(y1+y2)^2-4y1y2]。然后解方程就可以得到p的值。

　　

　　再看第二小问：求△MNF面积的最小值。

　　由(1)知，y^2=4x，则F(1,0)，设M(x3,y3)、N(x4,y4)。由于直线MN与抛物线有两个交点，那么直线MN的斜率必不为零，所以可设直线MN的方程为x=my+n。联立直线MN和抛物线方程，消去x，整理得到y^2-4my-4n=0，所以y3+y4=4m，y3y4=-4n。

　　又根据向量MF和向量NF的数量积为零，代入相应的坐标，然后用y3表示出x3、用y4表示出x4，并代入y3+y4、y3y4的表达式，化简后得到4m^2=n^2-6n+1。

　　由向量MF和向量NF数量积为零知MF⊥NF，所以△MNF的面积就可以用|MF|·|NF|/2来计算，而F为抛物线的焦点，所以可以用焦半径来计算|MF|和|NF|，即|MF|=x3+1，|NF|=x4+1，然后再用y3、y4表示x3、x4，化简后再用n表示m，从而得到△MNF的面积为(n-1)^2。

　　接下来，由4m^2=n^2-6n+1≥0就可以求出n的取值范围，最终得到三角形面积的最小值。

　　

　　这一小问的关键是表示出△MNF面积的表达式，而除了前面的求解方法，还有两种常见的解法。

　　前面部分的解法同解法1，设直线MN与x轴的交点为D(n,0)，那么△MNF的面积就可以用△MDF和△NDF的面积之和求解。即△MNF的面积可以用|DF|与|y3-y4|的乘积的一半来计算。

　　

　　另外，点M、N在抛物线上，那么我们可以用弦长公式先求出|MN|的表达式，再利用点到直线的距离公式求出点F到直线MN的距离d，那么△MNF的面积就等于|MN|·d/2来计算。

　　

　　作为一道圆锥曲线的大题，本题的难度不大，考查的都是比较基础的知识。

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