2022年高考甲卷文科数学压轴题，曲线的公切线问题，学生都说简单

　　同学们，大家好！本文和大家分享一道2022年高考数学真题。这道题是2022年高考文科数学的压轴题，考查的是导数的计算、导数的几何意义、曲线的切线方程、参变分离求参数的取值范围以及导数与函数的最值等知识。这道题虽然是一道压轴题，但是难度却并不算大，学生看过后都说简单。

　　

　　解决两曲线的公切线问题，一般的解题思路先表示出一条曲线的切线，然后由于这条切线也是第二条曲线的切线，那么就可以设出第二条曲线的切点，这样就可以通过该切点在切线上以及第二条曲线在切点处的导数等于切线的斜率构造出方程组，从而求解出相关的量。

　　

　　回到题目，先看第一小问：求a的值。

　　根据前面的思路，由f(x)=x^3-x可得f'(x)=3x^2-1，所以f'(-1)=3(-1)^2-1=2。又f(-1)=(-1)^3-(-1)=0，所以根据点斜式方程就可以得到曲线f(x)在点(-1,0)处的切线方程为y=2(x+1)。

　　由于该切线也是g(x)的切线，所以设在g(x)图像上的切点为(x2,g(x2))，则由g(x)=x^2+a可得g(x2)=2x2，所以2x2=2，解得x2=1，即直线y=2(x+1)与g(x)相切于点(1,1+a)。所以有1+a=2(1+1)，解得a=3。

　　

　　再看第二小问：求参数a的取值范围。

　　由f(x)=x^3-x得f'(x)=3x^2-1，所以f(x1)=3(x1)^2-1，故f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(x1)^3+x1=[3(x1)^2-1](x-x1)，整理得y=[3(x1)^2-1]x-3(x1)^3。

　　

　　设该切线切g(x)于点(x2,g(x2))，那么就有g'(x2)=f'(x1)即2x2=3(x1)^2-1且g(x2)=f(x1)即(x2)^2+a=[3(x1)^2-1]x-3(x1)^3。然后消去x2并进行参变分离处理，得到a=9(x1)^4/4-2(x1)^3-3(x1)^2/2+1/4。

　　现在要求a的取值范围，实际上也就是求函数h(x)=9x^4/4-2x^3-3x^2/2+1/4的值域，所以先求导，通过导数来研究函数h(x)的单调性和值域，最终得到a的取值范围。

　　

　　作为一道压轴题来说，这道题的难度确实不算大，只要平时基础知识掌握得比较扎实，那么这道题要得分甚至得满分并不是很难。如果是你来做这道题，你们得到满分吗？

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