秉通法悟通性提升抽象素养-以解析几何“手电筒模型”的探讨与推广为例

　　１ 研究背景

　　１．１ 通性通法

　　《普通高中数学课程标 准》（２０１７年 版２０２０年修订）在 考 试 命 题 原 则 中 强 调：考 察 内 容 应 围绕数学内 容 主 线，聚 集 学 生 对 数 学 重 要 数 学 概念、定理、方法、思想的理解和应用，强调基础性、综合 性；注 重 数 学 本 质、通 性 通 法，淡 化 解 题 技巧．在命题中，需要突出内容主线和反映数学本质的核心概念、主要结论、通性通法、数学应用和实际应用；应特别关注数学学习过程中思维品质的形成，关注学生会学数学的能力［１］．

　　章建跃博士对“通性通法”的解读是：“通性”是概念所反映的基本的性质；“通法”是概念所蕴含的数学思 想 方 法［２］．由 此 笔 者 认 为：“通 性”是指以特定数 学 概 念、公 式、定理等背景所命制的试题，在呈现形式上的统一性和规律性，具 备 知识在理论深度上的推广性和解法上普遍适用性；“通法”是指 符 合 学 生 认 知 规 律、思 维 模 式、知 识体系且具备自然有序和广泛实践性的解题方法，可有效测评 学 生 在 知 识 生 成、理 解、应 用 上 的 掌握程度并提升学生的数学核心素养．

　　１．２ 教学现状

　　解析几何 的 研 究 主 题 是 通 过 建 立 平 面 直 角坐标系，用代数方法研究平面图形的几何性 质，体现形与数 的 紧 密 结 合．在 教 学 实 践 中，解 析 几何学困生常 因 情 感 障 碍、概 念 不 清、运 算 薄 弱 等原因无法理解通性通法的思想内核；教师本身易出现重讲题 轻 背 景，重 过 程 轻 变 式，重 巧 法 轻 通法等教学现 象．长 此 以 往，便 会 忽 略 了 对 概 念 原理的开发利 用，淡 化 通 性 通 法 的 基 础 性 渗 透，逐渐偏离高考评价体系的考核方向，不利于培养学生良好的基本技能，无法形成有序的逻辑思维适应多变的试题情境．基于上述现状，本文以通性通法在解析 几 何 中“手 电 筒 模 型”中 的 应 用 为 例开展研究．

　　１．３ “手电筒模型”

　　在平面直角坐标系中，已知动直线与圆锥曲线交于两点，从 一 定 点 向 两 动 点 引 两 直 线，当 两直线的斜率和（积）为定值时，两点所在的动直线具有定斜率或过定点等不变属性，因其形而得名“手电筒模 型”．由 几 何 图 形 的 特 征 知：定 点 引 出的两直线具有平等互换性，曲线上的两动点具有地位等价性，由方程间的二次联立构造关于斜率的二次方程，韦达定理介入探究动直线的不变属性，称该解法为“二次联立法”［３］．

　　作为高考常客，“手电筒模型”在命题背景上可追溯到２０１９版选择性必修一习题３．３中的第６题［４］，在近几年高考试题中均有着重考查，既是热点更是难点．对运算求解，逻辑思维等关键能力要求较高，解题中需以扎实的必备知识为发力点，充分体现 了 数 学 核 心 素 养 的 理 念 要 求，有 效发挥了高考试题的选拔功能和育人价值．