来解题吧 ｜ 北京2023中考数学27题

　　2023北京中考落下帷幕，网上沸沸扬扬，同学们反馈题目比较难，这可能是前几年北京中考数学比较简单的缘故。接下来咱们一起看下几何中考题目：

　　（2023北京）如图所示，已知△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交BC于点D，P是CD上一点，F是BD上一点，E是△ACD内部一点，且PC=PF，PD=PE，∠EPF=2∠B，求证AE⊥EF。

　　

　　这是一道典型的二倍角题目，昨天才写了来解题吧 | 二倍角的处理方法。

　　这道题可以从以下思路着手：

　　方法1:构造等腰三角形

　　

　　①延长 PE 与 AC 相交于点G，根据二倍角可以得到△GPC为等腰三角形；

　　

　　②由PF=PC=PG，可以得到△GFC为直角三角形；

　　

　　③∠AGF=∠ADF=90°（弦AF），所以A、G、D、F四点共圆。

　　

　　④PD=PE，PF=PG，根据平行线分线段成比例，可以得到DE∥FG，且四边形DEGF为等腰梯形，所以D、E、G、F四点共圆；

　　⑤结合③可知A、G、E、D、F五点共圆，所以∠AEF=∠ADF=90°，所以AE⊥EF。

　　方法2:利用中位线构造等腰三角形

　　

　　①延FE至点G，使得EG=EF，连接CG、AF、AG

　　可以得到∠ACB=∠ABC=∠ACG

　　设DP=PE=x，DF=y；

　　因为P位CF中点，所以PC=PF=x+y;

　　因为PE为中位线，所以CG=2PE=2x

　　又因为D为BC中点，所以BF=BD-DF=CD-DF=x+x+y-y=2x

　　所以CG=BF

　　所以△ABF≌△ACG

　　②等腰三角形，三线合一证垂直

　　由△ABF≌△ACG得到：AF=AG

　　又因为E为FG中点，所以AE⊥EF

　　方法3:利用中位线构造直角三角形

　　

　　①构造中位线，一边一角证全等；

　　连接AF，取AF的中点G，则PG为△AFC的中位线；从而得到3个α角相等；

　　因为PD=PE，α角=α角，所以一边一角证全等，从而连接GD、GE，得到△GPD≌△GPE；所以GD=DE

　　

　　②利用斜中半倒直角三角形

　　在Rt△ADF中，G为AF中点，所以DG=GF=GA

　　又因为DG=GE

　　所以GF=GA=GE

　　

　　在△AEF中，可以证得AE⊥EF

　　方法4:利用中点倍长中线

　　

　　①倍长中线，得到△EPF≌△GPC，EP=GP，EF∥CG；

　　

　　②二倍角构造等腰三角形，得到∠PDG=∠PGD=α

　　同时可以得到△EDG为直角三角形，∠EDG=90°

　　

　　③证明△ADC∽△EDG

　　∠ACD=∠EGD=α，∠ADC=∠EDG=90°

　　所以△ADC∽△EDG(AA)

　　所以AD:ED=DC:DG

　　

　　④证明△ADE∽△CDG

　　∠ADC=∠EDG=90°，所以∠ADE=∠CDG=α

　　又因为AD:ED=DC:DG

　　所以△ADE∽△CDG（SAS）

　　

　　⑤平行线转移角

　　由①知，EF∥CG，要证∠AEF=90°，就是证∠EHC=90°；

　　由④知，△ADE∽△CDG（SAS），所以∠DAQ=∠DCG=β

　　在△AQD和△CQH中，∠DAQ=∠DCG=β，∠DQA=∠CQH

　　由8字倒角知：∠CHQ=∠ADQ=90°

　　所以∠AEF=90°，所以AE⊥EF

　　总结：四种方法，四种思路，始终围绕着中点、二倍角进行构造。