【初中数学专题】将军饮马最值问题、两种变体及经典习题

　　几何题中的最值问题是初中生、高中生都会面对的一种题型，主要包括以下几种题型：将军饮马问题、点到线的最近距离问题、表面展开图的长度最值问题、旋转运动中的长度最值问题、坐标和函数中的长度最值问题等。今天我们重点来讲一下将军饮马问题，及其两种变体和经典习题的解题方法。

　　将军饮马问题是几何中最值问题的一种：即求线段之和的最小值，也叫经济路线(最省时省力的路线)问题。

　　

　　故事的背景如下：古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从A地出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传。据说海伦略加思索就解决了它。

　　用几何语言描述即：如图，A地，B地为一条河的同侧，位置如图。某将军从A地出发，让马在河里饮水，再赶往B地开会。求作出饮马的C处的位置，使得将军走的路程最短（即求使AC+BC有最小值的C处位置）

　　

　　【思路】如同侧的两条线段是两段折线，求AC+BC的最小值，考虑利用对称，使AC和BC在河的两侧，再求AC+BC的和的最小值

　　【解】如图，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取A关于河岸的对称点A'，连结A'B，与河岸线相交于C，则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，所走的路程就是最短的．

　　

　　【证明如下】证明C即为所求点，使得AC+BC值最小

　　根据上述作法，A和A'关于河对称，则AC=A'C(河相当于线段AA'的中垂线)

　　∴AC+BC=A'C+BC，即AC+BC的最小值为A'B长，如果将军在河边的C点以外任一点C'饮马，所走的路程就是AC'+C'B，但是，AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB(两点间直线距离最短，或三角形两边之和大于第三边)．

　　可见，在C点外任何一点C'饮马，所走的路程都要远一些．即，C点即为使得AC+BC有最小值的饮水点。

　　将军饮马变体1：求线段之差的最大值

　　和上述题目求线段之和的最大值相反，我们稍作改动：把求和的最小值改为求差的最大值。如图：A，B为直线l同侧两点，求作直线l上的一点P，使得AP-BP的值为最大

　　

　　【解】延长AB交l于点P，则P即为所求

　　∵直线l上，除P以外的任一点P'，与A,B构成△ABP'∴AP'-BP'＜AB

　　∴直线l上,P以外的任一点P'，的AP'-BP'＜AB。而当取P点时，有AP-BP=AB，即P点为所求点

　　

　　将军饮马变体2：架桥问题

　　架桥问题与将军饮马问题的“河”有所不同，将军饮马问题的河是只有一岸，而没有宽度的，而架桥问题的河有一定的宽度，在河两边各有两个点。且出于在水面上架桥的造价高于在岸上造路，所以桥永远是垂直于岸边以降低造价。那么问题来了，选择在何处架桥，才能使总路线最短呢？我们来看具体习题：

　　

　　由本题我们可以概括出架桥问题的关键步骤在于：让桥PQ先让它在岸上沿垂直于岸边的方向走完，再把A'与B相连，最终使得A'P与PB在一直线上，即AQ可以平行于PB，这样，A'B间的线段距离就可以永远大于折线距离，从而达到总路线最短的目的。

　　相应习题

　　讲完将军饮马问题和两种变体，我们来看一下将军饮马问题的经典习题，具体又可以分为一个动点的问题，两个动点的问题和三个动点的问题。而解题思路的关键在于：动点的轨迹在哪里，“河(对称轴)”就是哪里。题目如下，难度分布：中等或较难

　　一个动点的问题：

　　

　　一个动点的问题中的构造法解代数问题（数形结合）：

　　

　　两个动点的问题：

　　

　　三个动点的问题：

　　

　　总结一下就是：将军饮马问题，首先要判断最值问题是否属于将军饮马问题。其次，如果属于这类问题，就要去找“河”，我们说：动点的轨迹在哪里，“河(对称轴)”就在哪里。从这里切入， 问题一般都可以迎刃而解。

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