「初中数学」湘教版九年级上册知识点归纳总结

　　湘教版九年级数学上册知识点归纳总结

　　第一章 反比例函数

　　一、反比例函数

　　反比例函数及其图象的性质

　　1．函数解析式：

　　2．自变量的取值范围：

　　3．图象：

　　（1）图象的形状：双曲线．

　　越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．

　　越小，图象的弯曲度越大．

　　（2）图象的位置和性质：

　　与坐标轴没有交点

　　当

　　时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；

　　当

　　时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．

　　二、二次函数

　　相关概念及定义

　　二次函数的概念：一般地，形如

　　的函数，叫做二次函数。

　　二次函数各种形式之间的变换

　　二次函数

　　用配方法可化成：

　　的形式，其中.

　　二次函数解析式的表示方法

　　一般式：

　　顶点式：

　　交点式：

　　二次函数

　　的性质

　　二次函数

　　的性质

　　二次函数

　　的性质：

　　二次函数

　　的性质

　　第二章 一元二次方程

　　一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式。

　　（2）一元二次方程的一般式及各系数含义

　　一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

　　2、分解因式法

　　3、配方法

　　4、公式法

　　（1）求根公式 ：

　　b2-4ac≥0时，

　　(2)求一元二次方程的一般式及各系数的含义

　　一、将方程化为一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)；

　　二、计算b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，方程有实数根（＞0有两个实数根，=0两个相等实数根）.当b-4ac＜0时，方程无实数根；

　　三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。

　　知识结构图

　　要点复习：

　　1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c; 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.

　　2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误;因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法;配方法使用较少.

　　3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：

　　Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根;

　　Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等).

　　4. 一元二次方程的根系关系：当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：

　　一元二次方程根的判别式

　　01

　　什么是根的判别式？

　　任意一个一元二次方程

　　均可配成

　　，因为a≠0，所以4a2>0. 由平方根的意义可知，

　　的符号可决定一元二次方程根的情况．

　　叫做一元二次方程

　　的根的判别式，用“△”表示(读做“delta”)，即△=

　　．

　　02

　　根的判别式怎么用？

　　在一元二次方程

　　中：

　　（1）当△>0时，方程有两个不相等的实数根；

　　（2）当△=0时，方程有两个相等的实数根；

　　（3）当△<0时，方程没有实数根．

　　（1）和（2）合起来：当△≥0时，方程有实数根．

　　上面结论反过来也成立，即：

　　①当方程有两个不相等的实数根时，△>0；

　　②当方程有两个相等的实数根时，△=0；

　　③当方程没有实数根时，△<0。

　　（1）和（2）合起来：当方程有实数根时，△≥0．

　　注意：根的判别式是△=

　　，而不是△=

　　。

　　03

　　课程标准对“根的判别式”有什么要求？

　　一元二次方程根与系数的关系

　　根与系数的关系

　　有公式法知，当一元二次方程ax+bx+c=0有解时，方程的根为x=2ab±√b4ac，则x+x=，xx=．

　　所以我们得到：

　　任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数．两个根的积等于常数项与二次项系数的比．

　　注意：

　　在运用根与系数的关系解决问题之前，必须先考虑一元二次方程的根是否存在 ( 判别法)，不然没有意义．

　　推论：

　　如果方程x+px+q=0的两个根是x，x，那么x+x=p，xx=q．以x，x为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是x(x+x)x+xx=0．

　　一元二次方程的应用

　　概念

　　等号两边都是整式，只含一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

　　条件

　　①是整式方程；

　　②只含一个未知数；

　　③未知数的最高次数为2

　　一般形式

　　一元二次方程的一般形式是，其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

　　解

　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。

　　如何去判断一个数值为一元二次方程的解的方法：将此数值带入一元二次方程，若能使等式成立，则这个数值是一元二次方程的解；反之则不是一元二次方程的解。

　　第三章 图形的相似

　　1、 线段的比

　　一般地， 在四条线段中， 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，

　　那么这四条线段叫作成比例线段

　　2、比例的基本性质

　　如果ａ/ｂ＝ｃ/ｄ， 那么ａｄ ＝ ｂｃ．

　　3、相似三角形的性质和判定

　　角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三

　　角形． 如果△Ａ′Ｂ′Ｃ′与△ＡＢＣ 相似， 且Ａ′， Ｂ′， Ｃ′分别与Ａ， Ｂ， Ｃ 对应， 那么记作△Ａ′Ｂ′Ｃ′∽△ＡＢＣ，读作“△Ａ′Ｂ′Ｃ′相似于△ＡＢＣ”．相似三角形的对应边的比ｋ叫作相似比

　　判定定理１ 三边对应成比例的两个三角形相似．

　　判定定理２ 两角对应相等的两个三角形相似.

　　判定定理３ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

　　相似三角形周长的比等于相似比， 相似三角形面积的比等于相似比的平方

　　4、相似多边形

　　把对应角相等，并且对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形．

　　相似多边形的对应边的比ｋ 叫作相似比．

　　相似多边形周长的比等于相似比， 相似多边形面积的比等于相似比的平方．

　　取定一点Ｏ， 把图形上任意一点Ｐ对应到射线ＯＰ （或它的反向延长线）上

　　一点Ｐ ′ ， 使得线段ＯＰ′与ＯＰ 的比等于常数ｋ（ｋ ＞ ０）， 点Ｏ 对应到它自身， 这种变换叫作位似变换 ， 点Ｏ 叫作位似中心， 常数ｋ 叫作位似比， 一个图形经过位似变换得到的图形叫作与原图形位似的图形．从位似变换和位似的图形的定义立即得出：

　　两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比．

　　5、相似多边形的性质

　　性质１ 相似多边形的对应边成比例

　　性质２ 相似多边形的对应角相等．

　　性质３ 相似多边形周长的比等于相似比， 相似多边形面积的比等于相似

　　比的平方．

　　6、相似多边形的判定

　　对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似．

　　复习提纲

　　第四章、锐角三角函数

　　锐角三角函数的概念

　　如图，在△ABC中，∠C=90°

　　锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数

　　锐角三角函数的取值范围：0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0.

　　锐角三角函数之间的关系

　　（1）平方关系

　　（2）倒数关系

　　tanAtan(90°—A)=1

　　（3）弦切关系

　　tanA=

　　cotA=

　　（4）互余关系

　　sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)

　　tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)

　　特殊角的三角函数值

　　说明：锐角三角函数的增减性，当角度在0°~90°之间变化时.

　　（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

　　（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

　　（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

　　（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

　　复习

　　统计的简单应用

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