2018年高考真题次压轴题，没做上、没做对的同学，是这两点还不知

　　012018年真题再现

　　[全国Ⅰ理2018·21]已知函数f(x)=1/x－x+a㏑x.

　　⑴讨论f(x)的单调性；

　　⑵若f(x)存在两个极值点x1,x2，证明：[f(x1)－f(x2)]/(x1－x2)<a－2.

　　图一这道题是2018年全国理科数学卷倒数第二道题，属于次压轴题。

　　这道题看起来第一问并不难，做完后也可能信心满满，觉得第一问应该是没问题的，但是考试结果出来，嗯???

　　哪差分呢？

　　就在这差分了，那到底哪里出错了呢？

　　我们就一起看看吧。

　　02第一问解答和注意事项

　　第一问求函数的单调性，当然要借助导数。

　　但是对于给出的原函数带有字母的情况下，我们好要结合分步讨论的原则，分别说明a范围，在a的不同范围下，得出函数f(x)的单调性。

　　第一步，求出原函数的导函数。

　　因为f(x)=1/x－x+a㏑x，所有一次导数为f＇(x)=－1/x^2－1+a/x=(－x^2+ax－1)/x^2，定义域x>0。

　　因为x^2>0，所以要判断一次导数为f＇(x)与0的大小关系时，只需要判断二次函数y=－x^2+ax－1与0的大小关系即可。

　　第二步，根据二次函数y=－x^2+ax－1与0的大小关系得出函数f(x)的单调性。

　　该二次函数y=－x^2+ax－1开口向下，与x轴的位置关系有两种关系：一个是与x轴有一个交点和没有交点的情况；一个是与x轴有两个交点的情况。

　　图二如图二所示，①当二次函数处于第一种情况时，其函数值是小于等于0恒成立的。

　　即二次函数y=－x^2+ax－1的判别式△=a^2－4≤0时，即－2≤a≤2，y=－x^2+ax－1≤0恒成立，即一次导数为f＇(x)≤0恒成立，函数f(x)在定义域x>0上是单调递减函数。

　　②当二次函数处于第二种情况时，即二次函数y=－x^2+ax－1的判别式△=a^2－4>0时，即a>2或者a<－2时。

　　令－x^2+ax－1=0，则解得到x=[a－√(a^2－4)]/2或x=[a+√(a^2－4)]/2。

　　做到这里，可能会有很多的同学直接就写：

　　当a>2或者a<－2时，函数f(x)在区间﹝0，[a－√(a^2－4)]/2﹞上是单调递减；在﹝[a－√(a^2－4)]/2，[a+√(a^2－4)]/2﹞上单调递增；在﹝[a+√(a^2－4)]/2，+∞）上是单调递减。

　　对不对？

　　不对！

　　如果这样写，只能说明，你还不知道这个注意事项。

　　注意事项：当判断二次函数有两个不等的解与0大小的时候，如果定义域不是R，则一定要验证此时对称轴的位置和二次函数与x轴的右交点与定义域的位置关系。

　　虽然上述a>2和a<－2时，二次函数y=－x^2+ax－1有两个不等的实根，即一次导数为f＇(x)与0的大小关系一波三折，但是这并不能说明函数f(x)在区间(0,+∞)上就不是单调函数。

　　所以要验证当a<－2时，此时二次函数的对称轴在不在定义有内以及二次函数右根与定于域的位置关系。

　　因为二次函数y=－x^2+ax－1对称轴为x=a/2，因为a<－2，则该二次函数对称轴x<－1。

　　所以当a<－2时，函数f(x)的定义域(0,+∞)在对称轴的右侧，且右交点a+√(a^2－4)]/2<0，所以此时一次导数f＇(x)<0在定义域(0,+∞)上恒成立。

　　图三所以当a<－2时，一次导数f＇(x)<0，此时函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减的。

　　综上所述，当a≤2时，函数f(x)在区间(0,+∞)是单调递减函数；

　　当a>2时，函数f(x)在区间﹝0，[a－√(a^2－4)]/2﹞上是单调递减；在区间﹝[a－√(a^2－4)]/2，[a+√(a^2－4)]/2﹞上单调递增；在﹝[a+√(a^2－4)]/2，+∞）上是单调递减。

　　03第二解答和注意事项

　　第二问是证明不等式[f(x1)－f(x2)]/(x1－x2)<a－2.

　　这里给出的已知条件就是函数f(x)存在两个极值点x1，x2，很多同学就不知道给出这个已知能得出什么，目的何在。

　　这就是需要我们知道一个知识点：

　　一个函数的极值点就是该导函数的零点，即x1和x2是二次函数y=－x^2+ax－1与x轴的两个交点，即方程－x^2+ax－1=0的两个根，则有x1x2=1.

　　需要注意的事项：

　　第一，方程－x^2+ax－1=0要转化成x^2－ax+1=0形式，即最简形式才能得出x1x2的值；

　　第二，[f(x1)－f(x2)]/(x1－x2)可以根据x1x2=1减少变量，即化简。

　　简单说以一下：[f(x1)－f(x2)]/(x1－x2)也表示点(x1,f(x1))和点(x2,f(x2))之间的斜率。

　　第一步，得出x1和x2的关系。

　　因为f(x)存在两个极值点x1,x2，则x1，x2是f＇(x)=0的两个根。

　　即x1，x2是方程x^2－ax+1=0的两个根，则x1x2=1.

　　所以x1=1/x2.

　　不妨设x1<x2，由第一问可知当f(x)存在两个极值点，则a>2，则一次导数f＇(x)的对称轴x=a/2>1，所以x2>1.

　　图四第二步，将[f(x1)－f(x2)]/(x1－x2)根据x1x2=1化简。

　　因为f(x)=1/x－x+a㏑x，则

　　[f(x1)－f(x2)]/(x1－x2)=[1/x1－x1+a㏑(1/x2)－1/x2+x2－a㏑x2]/(x1－x2)

　　=[x2－1/x2－1/x2+x2－2a㏑x2]/(x1－x2)

　　=2[x2－1/x2－a㏑x2]/(1/x2－x2)

　　=－2－2a㏑x2/(1/x2－x2)

　　即要想证明[f(x1)－f(x2)]/(x1－x2)<a－2，只需证明－2－2a㏑x2/(1/x2－x2)<a－2成立，即只需－2a㏑x2/(1/x2－x2)<a成立。

　　由第一问可知，函数f(x)存在两个极值点，则a>2.

　　所以要想－2a㏑x2/(1/x2－x2)<a成立，则只需－2㏑x2/(1/x2－x2)<1成立。

　　因为x2>1，则1/x2<x2，则(1/x2－x2)<0，所以要想－2㏑x2/(1/x2－x2)<1成立，只需－2㏑x2>1/x2－x2成立，即1/x2－x2+2㏑x2<0成立。

　　综上所述，要想证明[f(x1)－f(x2)]/(x1－x2)<a－2成立，只需1/x2－x2+2㏑x2<0成立。

　　第三步，证明1/x2－x2+2㏑x2<0成立。

　　设g(x)=1/x－x+2㏑x，则

　　一次导数g＇(x)=－1/x^2－1+2/x

　　=(－1－x^2+2x)/x^2

　　=－(x－1)^2/x^2

　　因为(x－1)^2≥0恒成立，当x=1时等号成立，此时x2>1，所以一次导数g＇(x)<0恒成立，即函数g(x)是单调递减函数。

　　因为g(1)=1－1+0=0，所以函数g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立，即1/x2－x2+2㏑x2<0恒成立。

　　综上所述，[f(x1)－f(x2)]/(x1－x2)<a－2恒成立。

　　04总结

　　第一问需要注意的是：

　　当导数为二次函数时，判断二次函数与0的大小，则不仅考考虑二次函数与x轴的位置关系，同时也要考虑二次函数的对称轴和二次函数零点在该函数定义域的位置关系。

　　第二问需要注意的是：

　　给出函数极值点时，能从这些极值中得到什么 ，有两个极值点时，参数又满足什么条件。

　　相关文章：

　　高考数学常考题，方程f(x)+a=0有根，知解法惊简单，这类题都适用

　　高考数学重点：不等式，这六种类型题普遍解法在这，学好它是飞跃

　　高中所学的导数公式大全

　　20年全国Ⅱ卷理科数学大题难倒一批人，知道这些后，原来这样简单

　　高考必考内容干货，函数基本知识点穿线大全，仔细阅读绝对是飞跃

　　#高中数学#

　　举报/反馈