关于洛伦兹力的冲量的计算

　　关于洛伦兹力的冲量的计算，我们来看这样一题：

　　如下图所示，质量m、带有+q电荷量的小球处在水平方向的、垂直纸面向里的大小为B的匀强磁场中，小球从A点无初速度释放后沿竖直面运动到B点，获得速度大小v，方向与水平方向成的角为w度，此过程中小球下落高度为h，所用时间为t。求小球从A运动到B的过程中洛伦兹力的冲量。重力加速度用g表示。

　　分析：小球运动后受到重力和与运动方向始终垂直的洛伦兹力两个力的作用，由于洛伦兹力不做功，故小球从A运动到B的过程中，遵循机械能守恒定律，mgh=mv^2/2(1),小球从A运动到B的过程中，动量的变化量大小为p=mv，方向与v方向相同；此过程中，重力的冲量大小为mgt，方向竖直向下。

　　根据动量定理，合力的冲量等于物体动量的变化量mv。因冲量是矢量，其合成遵循矢量三角形定则。即重力冲量（竖直向下大小mgt）与待求的洛伦兹力的冲量I首尾相接后恰好与合力的冲量mv构成一个三角形DBC，如图所示。

　　由几何关系，角DBC=90度-w(1)，又有数学公式cos(90度-w)=sinw(2)

　　由余弦定理：I^2=(mgt)^2+(mv)^2-2(mgt)(mv)cosDBC(3)联立(1)(2)(3)得I=[(mgt)^2+(mv)^2-2m^2gtvsinw]^(1/2)

　　由正弦定理：mv/sinC=mgt/sinD(4)

　　三角形内角和为180度，有D=180度-(DBC+C)(5)

　　由数学公式sin[180度-(DBC+C)]=sin(DBC+C)(6)；sin[90度-(w-C)]=cos(w-C)(7)

　　联立(4)(5)(6)，整理得C=arctan[vcosw/(gt-vsinw)]

　　由(1)得，v=(2gh)^(1/2)

　　结论：小球从A运动到B的过程中洛伦兹力的冲量的大小I=[(mgt)^2+(mv)^2-2m^2gtvsinw]^(1/2)，冲量与竖直方向所成的角为C=arctan[vcosw/(gt-vsinw)]指向右上方，式中v=(2gh)^(1/2)。

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