初二数学几何压轴题：最后一题太难了……

　　初二是一个最容易让家长和孩子忽略的年级，既没有初一的稚嫩感，又缺乏初三的紧迫感。而初二又是学生心理发展的关键时期，所以教育界流传这么一句话：初一相差不大，初二两极分化。

　　偏偏，初二的几何学习那是那么的抽象，逻辑思维又是那么的严谨。因此，几何压轴题的学习成为一部分学生两极分化时能否走进顶级的关键。

　　下面，精选3道几何压轴题，供需要的同学参考！

　　例题1、如图，△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．

　　（1）求证：MN⊥DE；

　　（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并写出推理过程；

　　（3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．

　　【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．

　　【分析】（1）连接DM、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=0.5BC，ME=0.5BC，从而得到DM=ME，再根据等腰三角形三线合一的性质证明；

　　（2）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，再根据等腰三角形两底角相等表示出∠BMD+∠CME，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解；

　　（3）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BME+∠CME，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解．

　　【解答】解：（1）如图，连接DM，ME，

　　∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，

　　∴DM=0.5BC，ME=0.5BC，

　　∴DM=ME

　　又∵N为DE中点，

　　∴MN⊥DE；

　　（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，

　　∵DM=ME=BM=MC，

　　∴∠BMD+∠CME=（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），

　　=360°-2（∠ABC+∠ACB），

　　=360°-2（180°-∠A），

　　=2∠A，

　　∴∠DME=180°﹣2∠A；

　　（3）结论（1）成立，

　　结论（2）不成立，

　　理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，

　　∵DM=ME=BM=MC，

　　∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC=2（180°-∠A）=360°-2∠A，

　　∴∠DME=180°﹣（360°﹣2∠A）=2∠A﹣180°．

　　【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．

　　例题2、如图，在四边形ABCD中，AD=BC=4，AB=CD，BD=6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．

　　（1）试证明：AD∥BC．

　　（2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．

　　【考点】全等三角形的判定与性质．

　　【专题】动点型．

　　【分析】（1）由AD=BC=8，AB=CD，BD为公共边，所以可证得△ABD≌△CDB，所以可知∠ADB=∠CBD，所以AD∥BC；

　　（2）设运动时间为t，点G的运动速度为v，根据全等三角形的性质进行解答即可．

　　【点评】本题主要考查三角形全等的判定和性质，第（2）题解题的关键是利用好三角形全等解得．

　　例题3、（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．

　　填空：当点A位于____时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_____（用含a，b的式子表示）

　　（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．

　　①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；

　　②直接写出线段BE长的最大值．

　　（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

　　【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；

　　（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD=BE；②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；

　　（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

　　【解答】解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，

　　∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b，

　　故答案为：CB的延长线上，a+b；

　　（2）①CD=BE，

　　理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，

　　∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，

　　∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，

　　即∠CAD=∠EAB，

　　在△CAD与△EAB中，AD=AB,∠CAD=∠EAB,AC+AE，

　　∴△CAD≌△EAB，

　　∴CD=BE；

　　②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值，

　　由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，

　　∴最大值为BD+BC=AB+BC=4；

　　（3）∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，

　　则△APN是等腰直角三角形，

　　∴PN=PA=2，BN=AM，

　　∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），

　　∴OA=2，OB=5，

　　∴AB=3，

　　∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，

　　∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，

　　最大值=AB+AN，

　　∵AN=√2AP=2√2，

　　∴最大值为2√2+3；

　　如图2，过P作PE⊥x轴于E，

　　∵△APN是等腰直角三角形，

　　∴PE=AE=√2，

　　∴OE=BO﹣AB﹣AE=5﹣3﹣√2=2﹣√2，

　　∴P（2﹣√2，√2）．

　　【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．

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