印度数学竞赛题，考查勾股定理和相似三角形，学霸直言没中考题难

　　大家好！本文和大家分享一道2019年印度初中数学竞赛题，题目见下图。这是一道几何题，综合考查圆的性质、直角三角形的勾股定理、相似三角形等知识，但是这道题的难度并不大，不少国内初中学霸直言这道题还没有国内的一些中考题难。那么接下来我们一起来看一下这道竞赛题。

　　

　　题目出现了圆的直径，那么就要考虑圆的直径所对的圆周角为直角，这样一来就可以构造出直角三角形。所以本题中可以考虑连接BE和CD，从而构造出了四个直角三角形。出现了直角三角形，要求边的长度，很明显可以考虑勾股定理。

　　首先在直角三角形BCE中，由勾股定理可以得到：CD^2=BC^2-BD^2=(√257)^2-1^3=256，解得CD=16。

　　在直角三角形ACD中，由勾股定理可得：AC^2=AD^2+CD^2=12^2+16^2=400，即AC=20。

　　接下来有两种解法。

　　第一种：在直角三角形ABE和直角三角形ACD中，有∠A=∠A(公共角)，所以这两个三角形相似。根据相似三角形的性质可得：AB:AC=AE:AD，即13:20=AE:12，解得AE=39/5。

　　所以EC=AC-AE=20-39/5=61/5。

　　

　　第二种：设EC=x，则AE=AC-EC=20-x。

　　在直角三角形BCE中，由勾股定理可得：BE^2=BC^2-EC^2=257-x^2；

　　在直角三角形ABE中，由勾股定理可得：BE^2=AB^2-AE^2=169-(20-x)^2。

　　所以257-x^2=169-(20-x)^2，计算可得：x=61/5，即EC=61/5。

　　

　　求出EC的长后，再看点A到BC的距离。

　　点A到BC的距离实际上也就是三角形ABC在BC边上的高h。这个问也有两种解法。

　　解法一：三角形ABC的面积可以用BC×h/2来计算，还可以用AB×CD/2计算，两种方法计算的结果相同，所以可以得到方程：BC×h=AB×CD，这样就可以求出h了。

　　

　　解法二：过点A作垂直BC于点F，则AF就是点A到BC的距离。设BF=y，则：

　　在直角三角形ABF中，由勾股定理可得：AF^2=AB^2-BF^2=169-y^2；

　　在直角三角形ACF中，由勾股定理可得：AF^2=AC^2-CF^2=400-(√257-y)^2。

　　所以有：169-y^2=400-(√257-y)^2，解得：y=13√257/257。

　　然后在直角三角形ABF或者直角三角形ACF中任选一个三角形都可以计算出AF的长度。

　　

　　这道印度初中竞赛题的难度确实不算大，难怪学霸表示没有中考题难。这道题就和大家分享到这里。

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