1997年高考数学压轴题，学渣毫无思路，学霸却说是送分题

　　大家好！本文和大家分享一下这道1997年高考理工农医类数学试卷的压轴题。这道题综合考查了圆的标准方程、圆的弦长的计算、点到直线的距离、动点问题以及求最值等知识，而动点问题对大部分初高中生来说都是难题，不少学渣看到题目后也是毫无思路，不过学霸却说这就是送分题。那么，本文和大家分享两种解法，供大家参考。

　　

　　先看条件①，圆截y轴的弦长为2，而圆的弦长有三种计算方法：两点间距离公式、弦长公式和几何法。通常来说，几何法求圆的弦长更加简单，计算量也更小，所以一般推荐使用几何法求解圆的弦长。具体怎么求呢？

　　如下图，设弦长为L，圆的半径为r，圆心到弦的距离为d(可用点到直线的距离求出来)，则L=2√(r^2-d^2)。

　　

　　根据上面的方法，如果设圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，那么由条件①就可以得到：r^2=a^2+1。

　　再看条件②，x轴将圆分成3：1的两段弧，那么劣弧所对的圆心角为直角，所以可以得到r^2=2b^2。上面两式联立得到a、b的一个关系，即2b^2=a^2+1。

　　接下来由点到直线的距离公式，表示出圆心到直线x-2y=0的距离，即d=|a-2b|/√5。下面就需要求出d的最小值，从而得到a、b的又一个关系。

　　

　　将圆心到直线距离的表达式两边同时平方并去分母，得到：5d^2=a^2+4b^2-4ab。根据基本不等式，得：2ab≤a^2+b^2，代入上面的关系，化简后得到：5d^2≥2b^2-a^2=1，当且仅当a=b时取等号。然后，联立a=b，2b^2=a^2+1构成一个二元二次方程组，解出a、b的值，即得到圆心坐标。再根据r^2=2b^2求出半径，最后代入圆的标准方程即可求出所求圆的方程。

　　

　　前面的解答同解法一，得到d=|a-2b|/√5。在求d的最小值时，解法一用的是基本不等式，解法二介绍另外一种方法：判别式法。

　　由d=|a-2b|/√5得：a-2b=±√5d，即a=2b±√5d，代入2b^2=a^2+1中，化简就可以得到一个关于b的一元二次方程：2b^2±4√5db+5d^2+1=0。显然，这个方程是有实数根的，所以判别式△≥0，这样就转化成了这个关于d的一元二次不等式：5d^2-1≥0。又因为d＞0，所以d≥√5/5。

　　接下来，将d的值代入关于b的一元二次方程，就可以求出b的值。再将b的值代入2b^2=a^2+1中，即可求出a的值。

　　需要注意的是，还需要根据|a-2b|的值判断a、b的取值组合。最后求出圆的半径即可得到圆的方程。

　　

　　本题属于比较常规的题目，难度不大，你学会了吗？

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