2016年高考数学真题,解三角形,高中学生这题不会做考本科就难了

  大家好!本文和大家分享一道2016年高考全国1卷理科数学真题。这道题考查的是正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等知识,属于基础题,难度不大。对于高中生来说,这道题都不会做的话,那考本科就有点难了。下面一起来看一下这道题。

  

  先看第一小问:求∠C。下面介绍三种解法。

  由正弦定理,a:sinA=b:sinB=c:sinC=2R变形得:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入题干中的关系式可得到2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC。

  根据两角和的正弦公式可得:sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)。又因为在△ABC中,有A+B+C=π,所以Sin(A+B)=sinC,从而2cosCsinC=sinC,即cosC=1/2。又0<C<π,所以C=π/3。

  

  因为题干中全部是角的余弦函数,所以可以用余弦定理进行角化边的操作。即cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab,cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac,cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc,代入题干给出的关系式中,化简整理得到:a^2+b^2-c^2=ab,然后再代入cosC的表达式中,即可求出cosC=1/2,从而得到C=π/3。

  

  射影定理是直角三角形的一个重要定理,其实在非直角三角形中,同样存在射影定理,也就是任意三角形的射影定理。即a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA,代入题干中的关系式,得到2ccosC=c,即cosC=1/2,从而得到C=π/3。

  

  最后看第二小问:求三角形的周长。

  求三角形的周长,也就是求三角形三边长度之和。根据题意,已知c=√7,所以只需要求出a+b的值即可。

  由第一小问可知,C=π/3,那么已知条件和所求的条件构成了三边一角的关系,因此可用余弦定理进行处理。即cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=(a^2+b^2-7)/2ab=1/2,得到:a^2+b^2=ab+7。

  由三角形面积为3√3/2可得:absinC/2=3√3/2。又sinC=√3/2,所以ab=6,故a^2+b^2=13。所以a+b=√(a^2+b^2+2ab)=5,从而得到三角形ABC的周长等于a+b+c=5+√7。

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  这道题难度不大,但却是解三角形的经典题目,是高中阶段必须掌握的题型。

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