【高中数学笔记】立体几何

时间：2023-06-21

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　　这里简单介绍一下希伯尔特的公理体系，传统的立体几何就是以此为基础的。

　　懒得打字了，上图

　　从公理出发可以得到欧式几何的所有结论，不过过程就…

　　以最简单的为例，从公理 $I_4,I_5$ 立即得到：

　　不共线三点决定唯一平面。下面将报菜名式的举出一些基本定理，证明就略过吧

　　定理2.1.1：空间两直线至多有一交点定理2.1.2：空间两直线的位置关系有且仅有：1.不共面；2.共面:(1)相交;(2)平行定理2.2.1：一平面和不在其上的一直线至多有一公共点定理2.2.2：．设平面外一直线与平面上一直线平行，则与此平面平行定理2.2.3：直线与平面有下列三种可能的相关位置： (a）直线在平面上（直线上各点在平面上）； (b）直线与平面相交（直线有一点也只有一点在平面上）；（c）直线与平面平行（直线没有任何点在平面上）。定理2.2.4：设一直线平行于一平面，则凡通过这直线的平面只要与此平面相交，交线必与该直线平行。补充定义：倘若两平面a、b 没有任何公共点，就称为互相平行

　　定理2.3.1：两面平行的充要条件是：其中一个平面和另一平面上的某两条相交直线平行定理2.3.2：若两平面都平行于第三平面，则彼此平行定理2.3.3：若两平面平行，任一平面上的任一直线平行于另一平面定理2.4.1：三平面的位置关系三平面的相互位置有下列可能情形：（a）三平面交于一点（有一个也只一个公共点）；（b）三平面共轴（以一直线上的点作为公共点）；（c）三平面没有公共点，这时分三种情况: 1° 三平面中没有相平行的，但两两交线则互相平行;2° 两个平行面被第三平面所截;3° 三平面彼此平行。乱入：一道选择题引发的讨论

　　例：如图为一正方体， $M$ 为 $DD_1$ 中点，下列正确的有（AB） A、过 $M$ 有且仅有一条直线与 $AB,B_1C$ 均相交 B、过 $M$ 有且仅有一个平面与 $AB,B_1C$ 均相交 C、过 $M$ 有且仅有一个平面与 $AB,B_1C$ 均平行问题一般化：

　　问：过两已知直线 $a,b$ 外一定点 $M$ 可作几条直线与已知直线均相交？答：答案如图，这里简证下第五种情况：过直线 $a$ 和点 $M$ 作一平面 $\alpha$ ，类似地作一平面 $\beta$ ， $\alpha\cap\beta=l$ ， $l$ 即为所求直线。小推论：三条直线两两异面，同时与这三条直线相交的直线有（无数）条。定理2.5.1：若一直线垂直于一平面上两条相交直线，则必垂直于这平面上的一切直线定理2.5.2：垂直于同一直线的两平面互相平行定理2.5.3：（三垂线定理）定理：在斜线 $OA$ 射影 $HA$ 所在平面 $\alpha$ 上的直线 $l$ 若垂直于这射影，则垂直于斜线本身

　　逆定理：在斜线射影所在平面上的直线，倘若垂直于该斜线，便也垂直于其射影

　　由定理2.5.1即得。

　　定理2.6.1：通过已知平面的一条垂线的平面，必垂直已知平面定理2.6.2：设两平面相垂直，若一直线在其一平面上且垂直于交线，则必垂直于另一平面其他概念：面面垂直，直线距离，线面距离，平面距离，线线角，线面角，面面角等

　　3.1.1四面体的外接平行六面体

　　如图，在四面体 $ABCD$ 中， $AB$ 和 $CD$ 、 $AC$ 和 $BD$ 、 $AD$ 和 $BC$ 各为一双对棱。两条对棱必然不共面，因此可以作两平行面，使各通过其中一条棱并平行于另一条棱。通过三双对棱所作的三组平行面围成一平行六面体。四面体的六棱就是六面体的对角线。反过来，平行六面体的一顶和过此顶三面的三个对顶，就是一个四面体的顶点。

　　3.13.1.2四面体的重心[2]

　　定理：1° 通过四面体的每一棱及其对棱中点的平面共有六个，它们通过同一点； 2° 联接四面体的每一顶点与其对面重心的线段共有四条，也都通过这一点，而且从各顶点算起都被这点分为3 : 1之比；3° 三双对棱中点的三个联线段也通过这一点，而且被它平分。如上图，作出四面体的外接平行六面体后即可证明。

　　推论：若平行六面体外接于四面体，则平行六面体的各棱分别等于四面体各双对棱中点的连线。3.1.3四面体的外心

　　定理：1° 通过四面体的每一棱的中垂面共有六个，它们通过同一点； 2° 垂直四面体的每一面于该面的外心处的直线共有四条，也都通过这一点。注意到外心到四个顶点距离相等，即可证明，过程略。3.1.4四面体的内心

　　3.1.5四面体的垂心

　　定理1.四面体中从两顶点发出的高线相交 $\Leftrightarrow$ 过这两顶点的棱垂直于其对棱证明：推论：链接：一组对棱垂直 $\Leftrightarrow$ 另两组对棱的平方和相等详见本文2.1.5(1)定理2.设四面体有两双对棱互相垂直，则第三双对棱也互相垂直，此时四面体的四高线通过同一点（称其为四面体的垂心）。证明：定理3.若四面体的一双对棱互相垂直 $\Leftrightarrow$ 另两双对棱中点的连线相等证明：3.1.6四面体正余弦定理

　　如图为四面体 $OABC$ ，图中字母为线段长，设 $\angle BOC=\alpha,\angle COA=\beta,\angle AOB=\gamma$ ，二面角 $B-OA-C,C-OB-A,A-OC-B$ 大小分别为 $A,B,C$ ， $OC$ 与平面 $AOB$ 所成线面角为 $\varphi$ ， $S_{\triangle ABC}=S_o$ （其他类似）

　　3.2定理1： $\frac{sinA}{sin\alpha}=\frac{sinB}{sin\beta}=\frac{sinC}{sin\gamma}$ 定理2： $cos\alpha=cos\beta cos\gamma+sin\beta sin\gamma cosA$ 定理3： $S_O^2=S_A^2+S_B^2+S_C^2-2S_BS_C\cdot cosA-2S_CS_A\cdot cosB-2S_AS_B\cdot cosC$ 定理4： $sin\varphi=sin\alpha sinB=sin\beta sinA$ 定理5： $cos^2\varphi=\frac{cos^2\beta+cos^2\gamma-2cos\beta cos\gamma cosA}{cos^2A}$ 定理1由体积公式（2）即得；定理4（三正弦定理）可通过简单的几何关系证明，如图3.4；

　　以上定理在第五部分给出向量证明。

　　推论：

　　1（三余弦）:当 $AOB\bot AOC$ 时， $cos\alpha=cos\beta cos\gamma$ 2（最小角）:平面外的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。( $cos\alpha<cos\beta\Rightarrow\alpha>\beta$ )3:三垂线定理（可看成三余弦定理的推论： $\alpha=\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow\beta=\frac{\pi}{2}$ ）3.3三余弦定理3.4三正弦定理3.1.7四面体体积

　　体积的严格定义这里不多提，此外我们还需要知道：

　　（1）祖暅原理：设两立体夹于二平面 $\alpha,\gamma$ 之间（图3.5 ），若以介于 $\alpha,\gamma$ 之间的任一平行面 $\beta$ 截之，所得截面积恒相等，则此两立体等积。

　　（2）棱柱的体积等于底面积乘高。

　　设 $O$ 到平面 $ABC$ 的距离为 $h_O$ ， $OA,BC$ 距离为 $h_1$ ，所成角为 $\theta$ ，则可得四面体体积公式：

　　（1）底高： $V_{O-ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot h_O$ （2）三射线： $V_{O-ABC}=V_{C-AOB}=\frac{1}{6}abcsin\gamma sin\alpha sinB$ （3）对棱： $V_{O-ABC}=\frac{1}{6}adh_1sin\theta$ 证明：