2020初三数学复习：角平分线与线段垂直平分线，定理转化经典代表

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　　01单元复习要点

　　角平分线与线段垂直平分线，本是两个不相关的概念，但基于集合概念的需要和轴对称图形的共性，我们把这两个单元放在了一起。而在考试中，出经常把这两个概念融汇到同一个题目中对学生进行考查，题目的总难度不会太大，但也是不可轻视的一个单元。

　　本单元的主要知识点是：线段垂直平分线的性质和判定；角平分线的性质和判定。线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，融合成集合概念就是：到线段两个端点距离相等的是，是线段的垂直平分线上的点的集合。

　　同样，角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等；判定定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。两个定理也融合成一个定理：到角的两边距离相等的点，是角的平分线上的点的集合。

　　两个定理经过派生知识点是：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点；到三角形三条边距离相等的点是这个三角形的三条角平分线的交点。

　　本单元的两个知识点，是定理与逆定理之间进行相互转化的一个代表，需要大家对原定理、逆定理的两个概念进行一个认识与理解。

　　本单元还要求熟悉一些基本作图：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作已知线段的垂直平分线；4.作已知角的角平分线；5.过一点作已知直线的垂线。

　　期待大家在本单元获得更多的迎考知识！

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　　02中考真题精选

　　03参考答案

　　04经典题目解析

　　一、选择题

　　1. D；2. 考点：线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．分析根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．解答解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选：D．

　　3. 考点角平分线的性质．分析过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又AD=8，进而求出PE=4．解答解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴PA=PE，PD=PE，∴PE=PA=PD，∵PA+PD=AD=8，∴PA=PD=4，∴PE=4．故选C．

　　4. 考点黄金分割；全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质．分析由题意知AB=AC、∠BAC=108°，根据中垂线性质得∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，从而知△BDA∽△BAC，得=，由∠ADC=∠DAC=72°得CD=CA=BA，进而根据黄金分割定义知==，可判断A；根据∠DAB=∠CAE=36°知∠DAE=36°可判断B；根据∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE=72°可得∠BAE=∠CAD，可证△BAE≌△CAD，即可判断C；由△BAE≌△CAD知S△BAD=S△CAE，根据DH垂直平分AB，EG垂直平分AC可得S△ADH=S△CEG，可判断D．

　　5. 考点角平分线的性质．分析判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．点评本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．

　　6. 答案C; 7. 答案B.试题分析：在中，，AD是的中线，可得点B和点D关于直线AD对称，连结CE，交AD于点P，此时最小，为EC的长，故选B.

　　8. 分析先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°﹣∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°．

　　9. 分析根据垂线段最短解答即可．解答解：因为线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，所以AM≤AN，故选：D．

　　10. 分析过点D作DE⊥AB于E，求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．解答解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AC＝8，DC＝AD，∴CD＝8×＝2，∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝CD＝2，即点D到AB的距离为2．故选：C．点评本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．

　　11. 分析利用基本作图得到平分，利用角平分线的性质得到点到的距离为1，然后根据三角形面积公式计算的面积．点评本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了交平分线的性质．

　　12. B; 13. 分析过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，根据角平分线的性质得到DH＝CD＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论．点评本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．

　　二、填空题

　　15. 分析： 由OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，得到PE=PF，∠1=∠2，证得△AOP≌△BOP，再根据△AOP≌△BOP，得出AP=BP，于是证得△AOP≌△BOP，和Rt△AOP≌Rt△BOP．点评： 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

　　16. 答案110°.解析试题分析：∵D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，∴∠CBD=∠ABC，∠BCD=∠ACB.∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣40°=140°.∵∠D+∠DBC+∠DCB=180°，∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-×140°=110°.考点：1三角形内角和定理；2角平分线性质.

　　17. 考点角平分线的性质；含30度角的直角三角形．分析作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．

　　18. 124°； 19. 分析根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EC，得到∠EAC=∠C，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．

　　20. 分析证出∠ACD＝∠DCB＝∠B，证明△ACD∽△ABC，得出＝，即可得出结果．点评本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识；熟练掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．

　　21. 分析首先结合作图的过程确定BP是∠ABD的平分线，然后根据角平分线的性质求得点P到BD的距离即可．点评考查了尺规作图的知识及角平分线的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是根据图形确定BP平分∠ABD．

　　三、解答题

　　22. 分析（1）利用尺规作线段AD的垂直平分线即可．（2）根据四边相等的四边形是菱形即可证明．点评本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

　　23. 解：（1）如图所示，点C即为所求：（2）分别作过点M，N，C作ME垂线MP，NQ，CG（G为垂足），则∠PMC=60°，∠CNQ=45°，∴∠GMC=90°－60°=30°，∠CNG=90°－45°=45°.设CG=xkm，则NG=x km，MG=x km，∴MN=(+1)xkm.∵MN=2()km，∴(+1)x=2()．解得x=2.即点C到公路ME的距离为2km．

　　24. 试题分析（1）考察角平分线定理的性质，及直角三角形全等的判断方法，“HL”（2）利用全等得到线段AM＝BE，AM＝AF，利用正方形OECF，得到四边都相等，从而利用OE与BE、AF及AB的关系求出OE的长。

　　25. 分析根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题．解答解：∵点P在∠ABC的平分线上，∴点P到∠ABC两边的距离相等（角平分线上的点到角的两边距离相等），∵点P在线段BD的垂直平分线上，∴PB=PD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）。

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