初二数学基本事实与定理课时教案
初二数学基本事实与定理课时教案
【课题】基本事实与定理
【课型】新授
【教学目标】
知识：了解公理、定理的含义，了解本套教科书所采用的基本事实；会区分定理、公理，初步感受公理化思想．
能力：通过实例感受证明的过程与格式．
情感：感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值．
【教学重难点】
教学重点 公理与定理的含义，并能初步领会证明的过程与格式．
教学难点 证明的过程与格式的领会与应用．
【教学方法】探讨、合作交流
【教具与教学准备】导学案、PPT
【学情分析】
通过观察、操作、想象、推理、交流等活动能够解决本节课的内容。
【教学过程】
一、激趣导入，交代目标：
（一）激趣导入
说明一个命题是假命题，通常举出一个例子就可以了，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例．如何证实一个命题是真命题呢？
其实，在数学发展史上数学家也遇到过类似的问题，今天我们就来初步认识欧几里得的几何体系．
设计意图：通过阅读，让学生通过问题情境感受公理体系的重要性，从而极大的调动学生学习的积极性和主动性．
（二）交代目标
多媒体出示，让一名学生读出来，共同学习，从而明确本节课的学习目标
设计意图：明确本节课的学习目标，使学生的学习有针对性。
二、自主探究,合作学习：
（一）依据导纲，自主学习
（一）公理与定理：
公元前3世纪，人们已经积累了大量知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（公元前300年前后）编写了一本书，书名叫《原本》，为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创新，挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证明其他命题的起始依据，其中的数学名词称为原名．
公认的真命题称为公理，除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理．
每个定理都只能用公理、定义、已经证明为真的命题来证明，而证明所需要的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面．
《原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍像《原本》这样编排，因此，《原本》是一部具有划时代意义的著作
（二）分组研讨，组内合作
（二）基本事实
我们已经认识了可作为证明出发点和依据的基本事实，其中有八条：
1．两点确定一条直线．
2．两点之间线段最短．
3．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
4．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
5．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
6．两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．
7．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
8．三边对应相等的两个三角形全等．
9．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
此八条基本事实前面已详细探索过，不必验证它们的正确性，可以直接用来证明其他命题的正确性，另外还有一条我们将在以后认识它．此外等式和不等式的有关性质也可看作公理．比如：如果a=b，b=c，那么a=c．
从这些基本出发，就可以证明已经探索过的结论了，例如：
定理 同角（等角）的补角相等
定理 同角（等角）的余角相等
定理 三角形的任意两边之和大于第三边
定理 对顶角相等
（三）组间互助，答疑解惑
例1．已知∠1=∠2，∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角．
求证：∠3=∠4．
证明:∵∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角．
∴∠3=180°-∠1，∠4=180°-∠2．
∵∠1=∠2．
∴∠3=∠4．
因此：同角（等角）的补角相等
设计意图：通过过程分析，让学生经历证明的过程，体验证明的方法步骤．
同理可证：同角（等角）的余角相等．证明过程与例2类似，鼓励学生自我证明．
对于“三角形的任意两边之和大于第三边的证明”，可引导学生任取三角形的两个顶点，根据公理“两点之间线段最短”可证得命题正确．
例2．如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角．
求证:∠AOC=∠BOD．
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，
∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义)．
∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义)．
∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等)
设计意图：通过例题，加深学生对证明的过程与格式的认识．
例3．已知：如图，∠BAD=∠EAC．
求证：∠1=∠2．
证明：∵∠BAD=∠EAC（已知），
∴∠BAD-∠EAD=∠EAC-∠EAD（等式的性质）．
∴∠1=∠2．
设计意图：让学生主动去探索知识，由“要我学”变成“我要学”。
（四）教师点拨，归纳总结
例1分析 ：证明一个命题的正确性，要按“已知”、“求证”、“证明”的顺序和格式写出，其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、基本事实和已证明的定理，经过一步步的推理最后证实结论的过程．
例2：方法总结：证明的一般步骤：
（1）根据题意，画出图形．
（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证．
（3）经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据．
三、巩固练习，拓展提升：
（一）巩固练习
1．下列说法正确的是( )．
A．真命题都可以作为定理
B．公理不需要证明
C．定理不一定都要证明
D．证明只能根据定义、公理进行
2．已知∠1=∠2，∠3是∠1的余角，∠4是∠2的余角．
求证：∠3=∠4．
答案：1．解析：真命题并不都是定理，故选项A不正确；定理必须经过证明，故选项C不正确；证明可以根据定义、公理、定理进行，故选项D不正确；公理是公认的真命题，不需要证明，故选B．
2．证明:∵∠3是∠1的余角，∠4是∠2的余角．
∴∠3=90°-∠1，∠4=90°-∠2．
∵∠1=∠2．
∴∠3=∠4．
（二）拓展提升
1、这节课你有何收获？（1）．公理与定理：公认的真命题称为公理 ，经过证明的真命题称为定理．（2）．证明：除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实．推理的过程称为证明．
2、你还有什么困惑吗？
设计意图：培养学生归纳整理知识的能力和习惯．
四、反馈检测，布置作业：
反馈检测：1．“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）
A．定理 B．公理 C．定义 D．只是命题
2．“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（ ）
A．定理 B．公理 C．定义 D．只是命题
3．4人进行游泳比赛，赛前4名选手A，B，C，D分别对自己进行预测．A说：“我肯定得第一名．”B说：“我绝对不会得最后一名．”C说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名．”D说：“那只有我是最末了的了！”比赛结果揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误．请指出这是哪一位选手．
4．已知：如图，直线AB和CD相交于点O，且∠AOC是直角．
求证：∠COB，∠BOD，∠DOA都是直角．
答案：1．B 2．C
3．解：如果A是错误的，说明B是第一名，D是最后一名，A与C一个是第二名，一个是第三名，有可能．
如果B是错误的，就说明B得了最后一名，那就和D的说法相矛盾，说明D的预测也是错的，与题意不符．
如果C是错误的，说明他不是第一名就是最后一名，要么与A的说法相矛盾，要么与D的说法相矛盾，说明A或D的预测也是错的，与题意不符．
如果D是错误的，说明D不是最后一名，结合A，B，C的说法，他们也不是最后一名，不可能，与题意不符．
所以A的预测是错误的
4．证明：∵∠AOC是直角， ∴∠AOC=90°，
∵ AOB是一条直线，∴∠COB =180°-∠AOC=90°，∴∠COB是直角．
同理可证：∠BOD，∠DOA都是直角．
布置作业：1．下列句子中，是定理的是（ ），是公理的是（ ），是定义的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．对顶角相等
C．全等三角形的对应边相等，对应角相等
D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
E．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等
2．如图，点P是AB上任意一点，∠ABC＝∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD．下列条件中不一定能推出△APC≌△APD的是( )
A．BC＝BD B．AC＝AD
C．∠ACB＝∠ADB D．∠CAB＝∠DAB
3．“两条直线相交成直角，就叫做两条直线互相垂直”这个句子是（ ）
A．定义 B．命题 C．公理 D．定理
答案：1． 是定理的是B、C、E，是公理的是A，是定义的是D
2．B．解析：根据三角形全等的判定定理，选项A，C，D都能推出△ABC≌△ABD，进而推出△APC≌△APD．
3．A
【板书设计】
【教学反思】
当学生走进数学课堂时，他们的头脑并不是一张白纸——对数学有着自己的认识和感受。教师不能把他们看着“空的容器”，按照自己的意思往这些“空的容器”里“灌输数学”这样常常会进入误区
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