八年级上学期，利用勾股定理巧解折叠问题，巧用轴对称的性质

　　折叠是初中数学几何变换之一，常与三角形、四边形等知识点相结合。折叠图形的主要特征是折叠前后的图形能够沿着对称轴完全重合，其实这也是轴对称的概念。折叠问题解题的关键是巧用轴对称和全等三角形的性质，找准折叠前后对应的线段和角度。比较容易忽视的知识点为：折叠前后对应点的连线被对称轴垂直平分，在解题时要注意这个知识点的应用。

　　而在初二阶段，折叠问题经常和勾股定理一起出现，利用勾股定理求解折叠问题的一般思路：（1）找出折叠前后对应相等的线段和角度；（2）在图形中找到一个直角三角形；（3）利用方程的思想，将这个直角三角形的三边分别表示出来；（4）利用勾股定理列出方程求出对应的未知数的值。

　　技巧一：巧用全等法求线段的长度

　　折叠前后两个三角形能够完全重合，是全等三角形，对应的线段相等，对应的角度相等。

　　例题1：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，使顶点B的对应点B′落在直角边AC的中点上，求CE的长．

　　分析：将△ABC沿着DE折叠，那么可以得到△BDE≌△B′DE，可以得到对应边相等，即BE=B′E。根据条件可以得到CB′=3，要求CE的长度，可设CE=x，那么BE=8-x，则B′E=8-x，在Rt△B′CE中，根据勾股定理列出等量关系式，求出CE的长度即可。

　　电影蜜蜂该题主要考查了翻折变换的性质及其应用，解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系，借助勾股定理列方程进行解答。

　　技巧二：巧用对称法求线段的长度

　　例题2：如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处．（1）试说明B'E=BF；（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由．

　　分析：（1）要证明B'E=BF，可以先证明B'E=B'F。根据折叠可以得到∠EFB=∠EFB'，根据平行线的性质得到∠B'EF=∠BFE，等量代换得到∠EB'F=∠B'FE，从而得到B'E=B'F。这个类似于角平分线+平行线得到等腰三角形的模型，然后再等量代换下得到所需结论。

　　（2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形△A'B'E中，由勾股定理可得a，b，c之间的关系。

　　本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键。

　　技巧三：巧用方程思想求解线段的长度

　　例题3：如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE延长EF交BC于点G，连接AG．（1）试说明△ABG≌△AFG；（2）求BG的长．

　　分析：（1）利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；（2）利用勾股定理得出GE^2=CG^2+CE^2，进而求出BG即可。

　　初二数学一次函数、勾股定理等是重点知识点，学习时要注意：

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