中考数学真题：这题求线段长之比有点难，原来要这样利用条件求解

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　　正方形与等边三角形的外接圆是数学中考的常考题型，本文就例题详细解析这类题型的解题方法，希望能给初三学生的数学复习带来帮助。

　　例题

　　如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，求EF/GH的值。

　　解题过程：

　　连接AC，交EF于M，连接EC

　　根据题目中的条件：正方形ABCD内接于⊙O，则圆心O在AC上；

　　根据正方形的性质和题目中的条件：四边形ABCD为正方形，AC为对角线，则∠ACB=∠ACD=∠BCD/2=45°;

　　根据题目中的条件：正三角形AEF内接于⊙O，则AO⊥EF，AO平分∠EAF；

　　根据题目中的条件和结论：三角形AEF为正三角形，AO平分∠EAF，则∠FAC=∠EAF/2=30°；

　　根据结论：AO⊥EF，∠ACB=45°，则∠CGM=45°;

　　根据等角对等边性质和结论：∠ACB=∠CGM=45°，则GM=CM；

　　根据圆周角定理和结论：∠CEF=∠FAC，∠FAC=30°，则∠CEF=30°；

　　根据三角函数值和结论：AO⊥EF，∠CEF=30°，tan∠CEF=CM/EM，tan30°=√3/3，则CM/EM=√3/3，即EM=√3CM；

　　根据垂径定理和结论：AO⊥EF，点O为圆心，则EF=2EM；

　　根据结论：∠CGM=45°，∠BCD=90°，则∠CHG=45°；

　　根据等角对等边性质和结论：∠CGM=∠CHG，则CG=CH；

　　根据三线合一性质和结论：CG=CH，AO⊥EF，则GH=2GM；

　　根据结论：GM=CM，EM=√3CM，则EM/GM=√3；

　　根据结论：EF=2EM，GH=2GM，则EF/GH=EM/GM=√3。

　　结语

　　解决本题的关键是根据等边三角形和正方形的外心性质得到角度间的关系，根据圆周角定理、垂径定理得到线段间的关系，再根据特殊三角函数值就可以求得线段间的比例关系。

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