几何图形的计数公式

　　几何图形的计数公式——数线段、三角形、（锐）角的公式

　　数出图6－1中各条线段上线段的总条数。

　　图6－1(a)中只有两个点A、B、只有一条线段。

　　图6－1(b)中有A、B、C三个点，这三个点将线段AC分割成AB、BC两条小线段，这两条小线段连起来组成一条新线段AC，所以图6－1(b)中有三条线段算式为2＋1＝3。

　　图6－1(c)中有A、B、C、D四个点，这四个点将线段AD分割成AB、BC、CD 三条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成两条新线段AC、BD，然后相邻的三条小线段连起来组成一条新线段AD，所以图6－1(c)中共有6条线段，算式为3＋2＋1＝6。

　　图6－1(d)中在有A、B、C、D、E五个点，这五个点将线段AE分割成AB、BC、CD、DE四条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成三条新线段AC、BD、CE；再将相邻的三条小线段连起来又组成两条新线段AD、BE；最后相邻的四条小线段连起来又组成一条新线段AE。所以图6－1(d)中共有10条线段。算式为4＋3＋2＋1＝10。

　　图6－1(e)中有A、B、C、D、E、F六个点，这六个点将线段分割成AB、BC、CD、DE、EF五条小线段；这五条小线段中的任意相邻两条小线段连起来又组成四条新线段AC、BD、CE、DF；然后将相邻三条小线段连在一起又组成三条新线段AD、BE、CF；再将相邻四条小线段连起来又组成两条新线段AE、BF；最后五条相邻小线段连起来又组成一条新线段AF。所以图6－1（e）中共有15条线段。算式为5＋4＋3＋2＋1＝15。

　　将上述几种情况一般化，如果某条线段上共有n个点（包括两个端点），那么这n个点将线段分割成n－1条小线段，这n－1条小线段中，任意相邻两条小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有n－2条。另外，这n－1条小线段中，任意三条相邻小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有n－3条。

　　依此类推，可得：任意相邻四条小线段连起来组成的新线段共有n－4条。任意相邻五条小线段连起来组成的新线段共有n－5条。

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　　任意相邻n－2条小线段连起来组成的新线段，共有（n－（n－2）＝）2条。最后相邻的n－1条小线段连起来组成1（＝n－（n－1））条新线段。此时，线段的总条数为（n－1）＋（n－2）＋……＋2＋1

　　这样便得到如何数类似图6－1中线段总条数的公式：当一条线段上共n个点（包括两个端点）时，这条线段上线段总条数为：1＋2＋…＋（n－1） ①

　　即线段总条数为从1开始的（n－1）个连续自然数的和。

　　把图6－1稍加变化，可得图6－2。图6－2各图中的三角形有下面两个特点：

　　一是所有三角形有一个公共的顶点，二是所有三角形的底边都在同一条直线上。

　　图6－2(a)、(b)、(c)中三角形的个数与底边的个数一样多。即图6－2(a) 中三角形的个数有6个（6＝1＋2＋3），图6－2(b)中三角形的个数有10个（1＋2＋3＋4＝10）。

　　图6－2(c)中三角形的个数有15个（1＋2＋3＋4＋5＝15）。

　　这说明公式①还可以用来数类似于图6－2中三角形的总个数。

　　另外公式①还可以用来数如图6－3中锐角的总个数，即从锐角AOB的顶点O，在其内部引n－1条射线，此时图中锐角的总个数也是：1＋2＋…＋（n－1）＋n

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