2013年四川高考数学压轴题，导数综合题，学霸说简单

　　大家好！本文和大家分享一下这道2013年四川高考理科数学压轴题。这道题综合考查了导数的计算、导数与函数单调性、导数的几何意义、直线方程的求解、直线间的位置关系、基本不等式等知识。作为一道压轴题来说，本题的难度不算大，很多学霸都说题目很简单。

　　

　　先看第一小问：求函数的单调区间。

　　函数f(x)是分段函数，那么我们也相应地进行分段讨论。

　　当x＜0时，函数f(x)为二次函数，我们直接配方，得到f(x)=x^2+2x+a=(x+1)^2+a-1，根据二次函数的单调性可知：f(x)在(-∞,-1)上单调递减，在(-1,0)上单调递增。

　　当x＞0时，f(x)=lnx为增函数。

　　综合上面的讨论就可以得到函数f(x)的单调区间。

　　

　　第一小问非常简单，可以说就是一道送分的题，但是还是有不少同学犯了错误。总结起来主要有两个常见错误：一是在求二次函数单调区间时忘了x＜0这个前提，二是两个单调递增区间之间用“∪”连接起来了。这都是两个比较低级的错误，如果在高考中犯了这样的错，那真的很可惜。

　　

　　再看第二小问：求最值。

　　两直线垂直，那么这两条直线的斜率之积等于-1，而这两条直线都是函数f(x)的图像的切线，所以对f(x)求导就可以得到两条切线的斜率。

　　根据题意可知，x1＜x2＜0，此时f(x)=x^2+2x+a，则f'(x)=2x+2。因此，根据导数的几何意义可得在点A处的切线的斜率为f'(x1)=2x1+2，在点B处的切线斜率为f'(x2)=2x2+2，故有(2x1+2)(2x2+2)=-1。由于x1＜x2，所以必有2x1+2＜0，2x2+2＞0，所以x2-x1=[-(2x1+2)+(2x2+2)]/2≥√[-(2x1+2)(2x2+2)]=1。这样就求出了x2-x1的最小值，不过基本不等式求最值一定要验证取等的条件。

　　

　　最后看第三小问：求参数a的取值范围。

　　由于两切线重合，如果我们都写成斜截式，那么这两条切线的斜率相同，并且在y轴上的截距也相等。

　　注意，这一问没有给出x1、x2的具体范围，所以需要进行分类讨论。显然，当点A和点B同在二次函数或者对数函数的图像上时，两点处的切线不可能重合，所以有x1＜0＜x2。

　　接下来先用导数的几何意义求出两切线的斜率，再根据直线的点斜式方程表示出两切线方程，并化为斜截式方程。然后根据两切线重合则斜率相等、在y轴上的截距相等就可以得到一个方程组，。根据方程组的特点，先求出x1的取值范围，再消去x2，并参变分离构造新函数，最后求出新函数的值域，也就是参数a的取值范围了。

　　

　　这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？

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