高考数学导数大题专题1：证明有三个不同的交点

　　

　　高考数学导数大题专题1。

　　视频讲解见：

　　

　　第(1)问的解题思路比较明确：先分别求出f(x)和g(x)的最小值，再令两个最小值相等，解方程即可求出a的值。

　　为什么要分a≤0和a＞0两种情况进行讨论：因为令导函数f′(x)=0时，得到方程e的x方=a，指数函数e的x方是恒大于0的，所以当a≤0时，方程无解，当a＞0时，方程有一个解x=lna，所以要分这两种情况进行讨论。

　　

　　上面是求函数f(x)的最小值的过程。接下来是求函数g(x)的最小值的过程。要注意的是，求解g(x)最小值的前提条件也是a＞0。

　　

　　接下来令两个最小值相等，建立一个关于a的方程，通过解方程求出a的值。方程(一)不是基本方程，也无法通过因式分解求解，这样的方程只能通过构建函数的方法来求解。

　　利用构建函数的方法解方程时，一定要构建一个“合适”的函数。“合适”的意思是构建出来的函数m(x)的零点个数能够顺利地求出来，如果你构建的函数的零点个数求不出来，要重新变形方程，重新构建函数，一直到使构建出来的函数能够求出零点个数为止。

　　

　　接下来是第(2)问。证明曲线交点的个数一般有两种方法：代数法和数形结合法。对于本题来说，两种方法都可以，但使用数形结合更简便一些。

　　利用导数的知识画函数的大致图象，一般要求出如下这些量：定义域，单调区间，极值，最值，和单调区间端点处的函数值。

　　先画出f(x)的大致图象。

　　

　　用同样的方法画出函数g(x)的大致图象。

　　

　　现在，这个图象还不能算是完整的图象，因为当x＞1时，f(x)和g(x)的图象还会不会有交点，现在还不知道。所以还要进行判断，判断的过程如下：

　　

　　然后使用数形结合证明。

　　

　　最后证明三个交点的横坐标成等差数列。只需证明x1＋x3＝2x2即可。证明过程分三步。

　　第一步：由①和④可以出现x1＋x3。见(二)式。

　　

　　第二步：分别得出x1和x2之间的关系式，x3和x2之间的关系式。见（三）和（四）。

　　

　　第三步：把（三）和（四）代入（二）的右边即可。

　　

　　加油！

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