高一数学必修1,函数的单调性概念及其两大考点详解
高一数学必修1,函数的单调性概念及其两大考点详解
本次课程适用于高一及高一以上的学生，尤其适用于即将参加高考的学生进行总复习使用。本次课程主要对函数的单调性进行详细讲解和练习。
1 函数的单调性的概念：
单调递增函数的概念：
对于函数f(x)来说，在其定义域内任意的两个数x1和x2，如果x1>x2时，有f(x1)>f(x2)则f(x)在该定义域内为单调递增函数。
单调递减函数的概念：
对于函数f(x)来说，在其定义域内任意的两个数x1和x2，如果x1>x2时，有f(x1)<f(x2)则f(x)在该定义域内为单调递减函数。
2 发散思维看概念：
由函数的单调性的概念，我们可以知道，如果已知函数在某个定义域内为单调递增函数，那么一定有两个数x1和x2属于定义域时，当x1>x2时，一定可以判断出f(x1)>f(x2)。
3 看清概念的本质：
同增异减：即若定义域对应的两个数大小关系和其相应的函数值大小关系相同，则该函数在该定义域上单调递增，但是，若定义域上的任意两个值大小关系和其函数值相反，则该函数单调递减。
4 命题的否定：
如果存在两个点x1和x2属于定义域，当x1>x2时，f(x1)=f(x2)那么该函数在定义域上没有单调性。
例如f(x)=x^2在定义域R上没有单调性，因为存在两个点f(1)=f(-1)=1。
5 考点概述：
考点1：单调性的证明
考点2：求解不等式
考点3：抽象函数的单调性求解
考点4：复合函数的单调性
考点5：函数的值域
本次课程我们先来讲解一下考点1,2剩下的考点3，4和考点5我们下次课再进行详细的讲解。
考点1详解：函数单调性的证明
1 解题技巧:
我们总结为三步曲：
1 求出函数的定义域，如果已知定义域，那么直接在定义域内任意取两个数x1和x2
2 假设x1和x2的大小关系，如假设x1>x2
3 比较f(x1)和f(x2)的大小
常见的比较大小的方法：作差法，这里一般需要用到因式分解，同时结合相关的已知条件进行函数值大小的判读。
如果已知任意的f(x1)和f(x2)都是同号的话，我们可以进行作商比较大小。
如已知任意的f(x1)>0，f（x2）>0
若能求证出f(x1)/f(2)>1，则f(x1)>f(x2)
若已知任意的f(x1)<0，f(x2)<0
若能求证出f(x1)/f(2)>1，则f(x1)<f(x2)
反思：此处为何要加上限制条件，任意的f(x1)和f(x2)能不能用作商比较大小呢？
2 例题讲解
例题1：求证f（x）=x在[4,5]上单调递增。
解析：完全按照单调性的概念进行证明即可。即可以按照我们上面讲到的证明单调性的三步曲给以证明。
证明：在定义域[4,5]上任意取两个值x1,x2，假设x1>x2
则：f(x1)=x1,f(x2)=x2
f(x1)-f(x2)=x1-x2>0
则f(x)在[4,5]上单调递增。
例题2：证明：f(x)=x^2+x+2在[3,19]上单调递增。
证明：在定义域[3,19]上任意取两个数x1和x2，假设x1>x2
则：f(x1)=(x1)^2+x1+2
f(x2)=(x2)^2+x2+2
f(x1)-f(x2)=(x1)^2-(x2)^2+x1-x2=(x1+x2)(x1-x2)+(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2+1)
因为x1>x2，且x1，x2属于[3,19]，所以f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1+x2+1)>0
所以f（x）=x^2+x+2在[3,19]上单调递增。
例题3：证明：f(x)=x^3为单调递增函数。
分析：先求出f（x）的定义域，然后在定义域上任意取两个点x1和x2求其函数值进行因式分解比较大小即可。
证明：f（x）=x^3定义域为R，任意取两个实数x1，x2，假设x1>x2，
则：f（x1）=（x1）^3，f（x2）=（x2）^3
f（x1）-f（x2）=（x1）^3-（x2）^3=（x1-x2）[(x1）^2+（x1）*（x2）+（x2）^2]
分三种情况进行讨论：
① 当 x1>x2>0 时
有：(x1）^2+（x1）*（x2）+（x2）^2>0
即：f（x1）-f（x2）=（x1）^3-（x2）^3=（x1-x2）[(x1）^2+（x1）*（x2）+（x2）^2]>0
结论成立。
② 当 x1>0>x2 时
此时(x1）^2+（x1）*（x2）+（x2）^2=[(x1）+（x2）]^2-(x1)*（x2）>0
有：
f（x1）-f（x2）=（x1）^3-（x2）^3=（x1-x2）[(x1）^2+（x1）*（x2）+（x2）^2]>0
结论成立。
③ 当 0>x1>x2 时
有：(x1）^2+（x1）*（x2）+（x2）^2>0
即：f（x1）-f（x2）=（x1）^3-（x2）^3=（x1-x2）[(x1）^2+（x1）*（x2）+（x2）^2]>0
结论成立。
3 作业练习
（1） 求证：f(x)=1/(x+1)在定义域内没有单调性
（2） 求证：f(x)=(x-1)^3为单调递增函数
考点2：求解不等式详解
例题4：
已知f(x)在[3,9]上单调递增，求f(x-5)>f(4)的解集。
解析：充分利用已知条件，翻译单调性的含义，列出不等式进行相关解集的求解即可。
解：由题目已知条件得x必须同时满足三个条件：
① x-5>=3 即：x>=8
② x-5<=9 即：x<=14
③ x-5>4 即：x>9
解得：
{x|9<x<=14}
注意：本题是一道易错题，很多初学者会直接列出来不等式③，而忽略了不等式①和②，从而求得的结果错误，一定要理解单调性的概念，在给定区间上的单调性，必须将定义域限制在给定区间哦！对于不等式相关的求解，后续课程我们还会进行详解，此处不再赘述！
本次课程我们就先讲到这里了，咱们下次课再见哦！学习完以后一定要进行相关习题的巩固与提高！如您有相关的疑问，请在下方留言，咱们将第一时间给以答复！
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