数学与物理的联系

　　牛顿在《自然哲学的数学原理》里有句名言，他说“我不构造假说”，“凡不是来源于现象的，都应称其为假说。”

　　据说以上这句话，是牛顿说过的所有字句中，被引用得最广也是最多的一句。

　　由于哲学可以笼统地归结为基于世界问题的探讨，从属于自然。所以广义的《自然哲学的数学原理》，是指自然哲学里存在着数学原理，反过来说又可以用数学原理来解释（一切）自然现象。

　　而牛顿所用的具体数学方法就是他创建的微积分术，其核心是为了解决物理世界的运动与变化两大重要问题。

　　由于自然界里的物体运动大多表现为几何曲线，当物体所作的连续运动被描述为一条连续几何曲线时，就可以用大量的过点切线（直线）去逼近；也可以在解析几何下通过判断函数是否可微进行极限意义的分析，然后用积分的办法重新组合成一个整体。这样就将数学与物理联系了起来。

　　但无论微积分如何千变万化，从追根溯源的角度看，讲到底也就是将几何上的过点切线表达为导数发展起来的。所以几何又与物理有着十分密切的联系。

　　这是因为，物理世界通常被认为是三维的世界，而欧几里得空间也被认为是三维空间，主要讨论长度、夹角等几何性质。当物体的运动轨迹（点）用转动角度θ来表示时，就可以通过极限意义下的tanθ=f(x)建立微分方程，以寻找整体服从局部的变化规律。

　　可以说，研究微分方程——是数学之于物理的最深刻应用之一，从小处说可以回答某些物理问题，往大处说可以揭示某些自然规律。

　　后来，随着爱因斯坦广义相对论的提出，微分几何与物理的联系进一步得到加强和深化，甚至量子理论也与拓扑联系到了一起。物理学家常常通过建立具有几何特征的数学模型来研究物理现象，反过来说数学家也利用从物理上的解释开辟几何新天地。

　　例如，丘成桐曾经使用非线性的极小曲面方程解决了广义相对论正质量猜想，但威腾根据线性的迪拉克方程给出了另一个证明，因而推定在十分微小的局部上具有等价的微分结构，即微小曲面可视为“平坦”。这在原理上不但与非欧几何在微小的局部上等价于欧氏几何相一致，也与微积分在微小的局部上适用于线性表达相一致。

　　另一方面，几何也涉及到拓扑性质。量子理论也与拓扑有着十分紧密的联系。迪拉克曾公开支持将电荷量子化；威腾也曾解释过超对称量子场与拓扑之间的关系，认为每一个超对称模型下的基态“同群调”都具有拓扑不变量，可以用拓扑的观点来解释量子理论。

　　......事实上数学与物理之间的联系是说不完的。但大量的物理方程与事例早已告诉我们，数学与物理之间的确存在着千丝万缕的联系，特别是现代物理与数学中的几何有着十分紧密的联系；同时也说明用数学的语言属性可以解释物理世界，用数学的工具属性可以探索物理世界，甚至破解自然之谜。

　　

　　编撰：然好

　　END

　　举报/反馈