八年级数学期末考试14分压轴大题:有点难,可能考到,百家号首发
01八年级数学期末考试14分压轴大题
如图1,△ABC是等边三角形,点D在△ABC的内部,连接AD,将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AE,连接BD,DE,CE。
(Ⅰ)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明;
(Ⅱ)延长ED交直线BC于点F:
①如图2,当点F与点B重合时,请用等式表示线段AE、BE和CE 的数量关系并给出证明;
②如图3,当点B为线段CF的中点且FE⊥CE时,设EF与AB、AC分别交于点P、S,下列结论正确的有:(A)AD平分∠BAC;(B)AP=PB;(C)BD垂直平分AE;(D)AC=3AS;(E)∠ADB=150°。
③如图4,当点F为线段BC中点且ED=EC时,猜想∠BAD的度数并说明理由(要求至少2种解法)。
图1图2图3图4考前认真复习,查漏补缺。02第一问的简要解析
判断两条线段数量关系,最直接的,是用圆规或三角板测一下。
这在考场,当然不算作弊。
经测量,线段BD与CE的数量关系,相等。
卷面上总不能信誓旦旦地说“我测量了,相等,不用证明!”
考场上注意思维活跃,可以先测量一下。
第一问注意什么?
①像第一问难度不大,应该快速书写卷面。
②紧抓已知,利用“旋转”和“全等”。
③阅卷,按步骤赋分。注意书写步骤。
首先摆明观点:BD=CE。得1分。
往下的证明,注意充分利用已知,注意别省略步骤。
∵△ABC是等边三角形,
∴∠1+∠2=60°且AC=AB--①
∵线段AE是由线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°而得到,
∴∠3+∠2=60°且AE=AD--②
由①②知:AC=AB,∠3=∠1,AE=AD,
∴△ACE≌△ABD(SAS),
∴CE=BD。
03第二问第①小问的简要解析
依然属于送分题。
此时E、D、B(F)三点共线。
首先摆明观点:BE=CE+AE。得1分。
由题意及第一问知,△ADE为等边三角形,即AE=DE。
由第一问△ACE≌△ABD知CE=BD。
故BE=BD+DE=CE+AE。
考场上,踏实做题,不作弊。04第二问第②小问的简要解析
第二问第②小问,选(C)(E)。难度不太大。主要用到“三角形的中位线”、“旋转”、“在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半”。
(A)AD平分∠BAC;(B)AP=PB;(C)BD垂直平分AE;(D)AC=3AS;(E)∠ADB=150°。
由旋转知,对应边BD和CE成60°角。
FE⊥CE已知,过点B作BM⊥FE于点M,则BM为△FEC的中位线,EC=2BM。
在Rt△BMD中,BD=EC=2BM,则∠4=30°=∠5,则BD垂直平分AE。
又∠6=120°,故∠ADB=150°。
拓展:如果把已知中的“FE⊥CE”换成“AP=PB”,则有AC=3AS。
考场上,心无旁骛,稳定发挥。05第二问第③小问解法一的详细分析和求解
详细分析
首先说出∠BAD=45°。拿下1分。
由已知△ADE是等边三角形,则DE=AE。
题干透露ED=EC,故AE=EC。
欲证∠CAE=45°,只需证AE⊥CE。
有同学说:题目问的是∠BAD,没问∠CAE。
由题意,△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转60°所得到。∠BAD=∠CAE。
详细求解
第一问的结论是EC=BD。
由题意△ABC和△ADE均为等边三角形,ED=AD,CA=CB,
又已知ED=EC,故ED=BD=AD。
连接CD,易证得△CDA≌△CDB(SSS),
∴∠7=∠8=30°。
取AC中点G,连接DG并延长交AE于点H,
第二问第③小问解法一附图。
∵点G为AC的中点、点F为BC的中点,AC=BC,
∴CG=CF,又∠7=∠8,CD=CD,
∴△CDG≌△CDF(SAS),
∴∠9=∠10--------①
∵ED=EC,
∴∠11+∠7=∠12,
而外角∠12=∠10+∠8,
∴∠11+∠7=∠10+∠8,其中∠7=∠8,
∴∠11=∠10-------②
由①②知∠9=∠11,
∴GH∥CE----------③
∵点G为AC的中点,
∴点H为AE的中点,又DA=DE,
∴DH⊥AE----------④
由③④知CE⊥AE。
而AE=EC已证,
∴△ACE为等腰Rt△,
∴∠CAE=45°。
由第一问知△ACE≌△ABD(SAS),
∴∠BAD=∠CAE=45°。
现在努力学,因为将来考研很难。
第二问第③小问解法一的反思和感悟:
主要用到辅助线全等、旋转、外角、等腰三角形底边上的中线垂直底边、三角形中位线、等腰直角三角形性质等。
都是很容易想到的知识点。
考场上,没时间思虑过多的解法。只要有思路、只要正确,那就抓紧形成卷面。
然而平时,是有足够时间的,就看您如何分配利用。
如果仅仅满足于“会一种解法就够了”,那么到用时候,恐怕很难拿出一种解法。
因为平时缺乏深入钻研探究,没养成掌握多种解法的习惯。
如果平时缺乏独立思考、一遇难题就翻答案、抄答案,考场上难免无法突破。
平时独立思考,考场上才能发挥自如。06第二问第③小问解法二的详细分析和求解
题目明说,点F为等边△ABC的边BC的中点。
那就必须连接AF。
凡是见到等腰三角形,注意其三线合一的性质。
过点A作AN⊥DE于点N,此时辅助线如下图:
第二问第③小问解法二附图。
如果能证明△ADB∽△ANF,则可得到∠ADB=∠ANF=90°,又易证得AD=DB,故△ADB未等腰Rt△,则∠BAD=45°。
详细求解
过点A作AN⊥DE于点N,则∠FNA=90°,
由题干,线段AE是由线段AD绕点A逆时针方向旋转60°得到,
∴△ADE为等边三角形(ED=AD),
则∠DAN=30°,
连接AF,
第二问第③小问解法二之附图。
∵点F为线段BC中点,
∴∠BAF=30°,
∴∠DAN+∠FAD=∠BAF+∠FAD,
即∠FAN=∠BAD-----①
∵点F为边BC中点,
∴AF为等边△ABC底边BC上的高,
显然,等边△ABC∽等边△ANF,
∴由相似三角形对应边及对应边上的高成比例得:
AF:AN=BC:DE,
即AF:AN=AB:AD-----②
由①②知△FAN∽△BAD,
∴∠BDA=∠FNA=90°---③
由第一问知BD=CE,而已知ED=EC,
∴BD=ED=AD---------④
由③④知△BAD为等腰直角三角形,
∴∠BAD=45°。
考场上遇到难题,也不要急躁。
第二问第③小问解法二的反思和感悟:
主要用到等边三角形性质、等腰直角三角形性质、旋转、辅助线构造相似等。
注:在证明边对应成比例时,可用三角函数。
总之,解法一侧重基础,解法二则侧重技巧。请仔细玩味。
快速提高数学,并不在于做题多,关键在于多琢磨、多体会典型好题。
再次重申:考场上千万不可作弊。
作者简介
中共党员,中考数学命题组成员,高中教务主任,常年兼任高中数学、物理、化学等科目。
专注百家号教育领域,持续发布中考、高考压轴大题的原创多角度详细权威解析。篇篇经典。
涉及科目主要中考、高考数学、物理,偶尔也有化学、英语、作文。
做完认真检查,不急于交卷。
期待您的评论、点赞、收藏、分享。
期待您的持续关注。
到九年级、到高中,通过百家号平台,我依然是您的良师益友!
#八年级数学#
举报/反馈