七年级数学第一章知识归纳整理有理数部分,附习题,可打印
知识点1:有理数的概念
概念:整数和分数统称为有理数。
分数可以化成小数,有限小数和无限循环小数可以化成分数。
无限不循环小数不能化成分数,故不是有理数。
知识点2:有理数的分类
(1)按有理数的定义为标准分类:
不管按哪种标准分类,有理数最终都分为5类:正整数,正分数,0,负整数,负分数。
容易混淆的地方:正有理数与正数的区别,正有理数一定是正数,但正数不一定是都是正有理数。如π是正数,但不是正有理数。同样的,负有理数一定是负数,但负数不一定都是负有理数,如:-π是负数,但不是负有理数。
知识点3:数轴
定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
数轴的判断:原点、正方向和单位长度缺一不可,单位长度必须一致。
数轴上的点和有理数的关系:正有理数可以用数轴上原点右边(或上边),即正半轴上的点表示,负有理数可以用数轴上原点左边(或下边),即负半轴上的点表示。0用圆点表示。
任何一个有理数都能用数轴上的某个点来表示,而数轴上的点表示的数不都是有理数。
数轴的画法:
(1)先画一条直线(通常画成水平或竖直的直线);
(2)在直线上的适当位置选取一点作为原点(通常在原点下方或左边标上“0”);
(3)确定正方向(一般规定向右或向上为正方向),用箭头表示出来;
(4)选取适当的长度作为单位长度,从原点向右(或向上),每隔一个单位长度取一点,依次标上正整数1,2,3,4……;从原点向左(或向下)每隔一个单位长度取一点,依次标上负整数-1,-2,-3,-4……。
知识点拨:原点的位置和单位长度的大小,要根据实际需要,灵活选取。
判断一条直线是否是数轴,要看它是否具备三要素,另外还要看它的单位长度是否一致,数的标注是否正确等。
知识点4:相反数
定义:像2与-2,1/5与-1/5这样,只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
性质:互为相反数的两个数的和为0,若a与b互为相反数,则a+b=0,反之亦然。
注意:⑴0的相反数是零,相反数等于本身的数只有0。
⑵互为相反数的两个数,在数轴上的对应点到原点的距离相等,且位于原点的两侧,反之,位于原点两侧且到原点距离相等的两点所表示的两个数互为相反数。
⑶根据相反数的意义,只改变原数的符号,即可得到原数的相反数,第一个数a的相反数为-a.如:-3的相反数是-(-3),或者为3,即-(-3)=3。
⑷多重符号的化简,可以运用相反数的性质逐步由内向外化简,也可以由“-”的个数来确定,当“-”个数为偶数时,化简的结果为正。如:-[+(-6)]=6;当“-”个数为奇数时,化简结果为负,如-[-(-6)]=-6。
知识点5 :绝对值
⑴绝对值的几何定义:数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值,记作|a|,如:|5|=5,读作:5的绝对值等于5。
⑵绝对值的代数定义:一个正数在数轴上对应的点与原点的距离恰好等于这个数本身,所以一个正数的绝对值是它本身,即当a是正数时,|a|=a。
一个负数在数轴上对应的点与原点的距离是这个数的相反数,所以一个负数的绝对值是它的相反数,即当a是负数时,|a|=-a。
表示0的点就是原点,原点与原点的距离是零,所以|0|=0。
知识点6:有理数的大小比较
⑴利用数轴比较有理数的大小:
在数轴上表示的有理数,左边的数小于右边的数。
⑵比较两数的大小,按数的符号可分类讨论如下:
A两数同号,同为正数,绝对值大的数大;同为负数,绝对值大的数反而小。
B两数异号,正数大于负数。
C一个数为0,正数大于0,负数小于0。
巩固练习题:
1.下列说法正确的有( )
①有最小的自然数,但没有最小的整数和有理数。
②0是整数,也是偶数。
③形如2m的数是偶数。
④正整数和负整数统称为整数。
⑤-7是负有理数,是奇数。
⑥1是最小的奇数。
2.已知2n-3与-9互为相反数,求n的值。
3.已知|x-2|+2|4-y|=0,求x+y的值。
4.已知|a|=8,|b|=2,且|a-b|=b-a,求a、b的值。
5.如果在数轴上的点m向左移动两个单位长度后,又向右移动一个单位长度,此时正好对应-3这个点,那么点M对应的数是( )
6.数a在数轴上所对应的点是点A,点A在数轴上向左移动3个单位长度后到达点B,点A与点B表示的数恰好互为相反数,那么数a是多少?并将数a及其相反数在数轴上表示出来。
7.在数轴上表示3的点与表示-4的点之间的距离是( )。
8.若a的倒数的相反数是3,则a是( )。
9.已知a=-5,|a|=|b|,则b的值等于( )。
10.已知|a|=-a,则a的值是( )。
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