七年级数学
分析:容易看出∠C=∠AED,且它们是同位角,所以只要证明DE//BC即可。
方法一:利用同位角相等来证DE//BC.
∵∠1+∠2=180°(已知),∠1+∠DFE=180°(平角定义)
∴∠2=∠DFE(等量代换)
∴AB//EF(内错角相等,两直线平行)
∴∠3=∠ADE(两直线平行,内错角相等)
又∵∠3=∠B(已知)
∴∠B=∠ADE(等量代换)
∴DE//BC(同位角相等,两直线平行)
∴∠C=∠AED(两直线平行,同位角相等)
方法二:利用同旁内角互补来证DE//BC
∵∠1+∠2=180°(已知),∠1+∠DFE=180°(平角定义).
∴∠2=∠DFE(等量代换).
∴AB//EF(内错角相等,两直线平行).
∴∠3+∠BDE=180°(两直线平行,同旁内角互补).
又∵∠3=∠B(已知).
∴∠B+∠BDE=180°(等量代换)
∴DE//BC(同旁内角互补,两直线平行)
∴∠C=∠AED(两直线平行,同位角相等).
方法三:同样利用同位角相等来证DE//BC,但前半部分不证AB//EF.
∵∠1+∠2=180°(已知)、∠1+∠DFE=180°(平角定义).
∴∠2=∠DFE.(等量代换)
又∵∠3=∠B(已知),∠DFE+∠FDE+∠3=180°(三角形内角和等于180°)
∴∠2+∠FDE+∠B=180°(等量代换)
∴DE//BC(同旁内角互补,两直线平行).
∴∠AED=∠C(两直线平行,同位角相等).
方法四:利用内错角相等来证DE//BC
∵∠1+∠2=180°(已知)、∠1+∠DFE=180°(平角定义).
∴∠2=∠DFE(等量代换)
又∵∠3=∠B(已知),∠FDE=180°-∠DFE-∠3(三角形内角和等于180°),∠DGB=180°-∠2-∠B(三角形内角和等于180°)
∴∠FDE=∠DGB(等量代换)
∴DE//BC(内错角相等,两直线平行)
∴∠AED=∠C(两直线平行,同位角相等)
方法五:不证DE//BC,直接利用三角形内角和得到∠AED=∠C
∵∠2+∠ADF=180°(平角定义),∠1+∠2=180°(已知)
∴∠ADF=∠1(等量代换)
∴AB//EF(同位角相等,两直线平行)
∴∠ADE=∠3(两直线平行,内错角相等)
又∵∠3=∠B(已知)
∴∠B=∠ADE(等量代换)
又∵∠A+∠ADE+∠AED=180°,∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和等于180°)
∴∠C=∠AED(等量代换)
PS:如果把证AB//EF的方法再更换下,又可以得到3种方法,如果添加辅助线,方法还可以更多。感兴趣同学可以自己试试看能写出多少种不同的方法,还可以思考DG与AC的关系,又有多少种证明方法?
小结
本题方法虽多,但主要运用了两个基本模型:三角形和平行线三线八角模型,前者是把角放在三角形内利用三角形内角和来进行等量代换,后者是找平行线和同位角、内错角、同旁内角,利用角和线之间的互推来证明。相对来说,后者思路可能更清晰,但前者有时步骤会更简洁一些。
初学证明题可能会陷入一个误区,一味追求简洁,只喜欢最简单的方法。难易是相对的,步骤多未必就复杂,步骤少也未必简单,除了书写过程还有一个更重要的思考过程,只要你想出来了,写就很简单了,反之,书写再简洁,想不出来也白搭!所以要侧重思维方法的训练,要拓宽自己的思路,要完善自己的解题策略。甚至有些同学眼高于顶,证明题连跳好几步,除非你确实想出了解题的捷径,否则因果关系不成立,不过是你的自以为是,止增笑耳!想要成为解题高手,基本功必须扎实!
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