IMO国际奥数竞赛题,普通孩子也能解,一步一步教你做

  

  (撰文:小留洋?Yvonne)

  IMO,International Mathematical Olympiad,国际奥林匹克数学竞赛是数学竞赛赛道上最璀璨的明珠了,是最高竞赛奖项。

  但它也不是我们高攀不起的,有些题只要认真琢磨,就能发现解谜线索,在这过程中你会感觉到自己像柯南,像福尔摩斯,像侦探??♀?在探案,那种揭秘的乐趣只有体验了才知道有多爽。

  来道考古题,1959年IMO第二天第4题。

  Construct a right triangle with a given hypotenuse c such that the median drawn to the hypotenuse is the geometric mean of the two legs of the triangle.用给定的斜边c构造一个直角三角形,使得到斜边的中线长度是三角形两条边边长的几何平均值。

  第一步 勘查现场

  给定斜边做一个直角三角形,要画一条从顶点到斜边的中线,还要知道几何平均值。回想一下脑子里的基础知识。①圆的直径对应的圆周角是直角,放一边备用;②取一边中点,连接对侧的顶点就是中线,也不难,等会儿画;③几何平均值就是2个数的乘积开平方。

  第二步 线索拼图

  根据已有信息,我们先把斜边c画上,考虑直角三角形的那个直角顶点可能在什么地方。观察下图。红色C点在圆上,△ABC一定是直角三角形。

  

  再把到斜边c的中线画出来,以便观察。

  

  还不足以确定C点的具体位置,继续探索。

  第三步 抽丝剥茧

  还有一个关键信息没用上,中线长度是a和b两个直角边的几何平均值。CO=√(a?b). 我们列公式观察几个变量的关系。中线CO也是半径,c是直径,所以CO=c/2。根据勾股定理,a2+b2=c2。

  代换变形都用上,看看能得到什么有用信息。

  

  有点意思了,也就是说,只要能构造出一个c线段√3/2倍长的线段,我们就构造出了a+b,就是相当于把a和b两条线段拼接在一起了。

  第四步 逆向推导

  

  我们再从预期的结论往前推看看有什么线索。看上图,假定图已经做出来了,将AC延长至D,CD长度等于a,那么AD就是a+b,可知,CDB是等腰直角三角形,∠D是45°。

  好像差不多了,如果AD也就是a+b这条线段已经得到,线段c也是已知的,我们在D点做一个45度角,以A为圆心c为半径做圆,与45度角的射线交于B,再从B做一条垂线垂直于AD,垂足是C,这样三角形ABC就得到了。

  至于如何得到√3/2c长的线段,我们下面有个图,大家自己琢磨一下,我们在讲做鹦鹉螺曲线的文章里讲过。

  

  第五步 完整绘图

  绘制a+b线段,也就是√(3/2)c长度的线段。

  

  以D为顶点做45度角,做射线。

  

  以A为圆心,c为半径做圆,交射线于B。

  

  过B点做AD的垂线,垂足是C点,连接ABC,完成作图。

  

  第六步 反思

  还有没有其他方法?做三角形的高h观察。利用相似三角形做变化,得到高h为c/4。知道高,C点又在圆上,作图可以更简单。

  

  

  做c/4线段

  

  做斜边c的平行线,距离c/4

  

  以斜边c为直径做圆,交平行线于点C

  

  连接ABC,作图完成。

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