八年级数学：分式方程增根（无解）经典题解析

　　分式方程的增根与无解是两个不同的概念，它们既有联系又有区别。

　　增根表示符合整式方程但不符合分式方程的解,而无解则表示方程没有解。

　　分式方程有增根并不意味着方程一定无解，如果该方程有一个以上的解，而增根的个数少于解的个数时，方程还是有解的。

　　因此,无解并不意味着一定有增根,反过来,有增根并不能意味着一定无解。

　　例1、当a为何值时，关于x的方程：

　　2/（x-2）+ax/（x^2-4）=3/（x+2）会产生增根？

　　解：方程两边同时乘以x^2-4得，

　　2（x+2）+ax=3（x-2），

　　整理，得（a-1）x=-10，当a=1时，方程无解，

　　当a≠1时，x=-10/（a-1）。

　　所以x=-10/（a-1）就是方程的增根，则有[-10/（m-1）]^2-4=0，即100/（m-1）^2=4，解得m=6或m=-4。

　　所以当m=6或m=-4时，原方程有增根。

　　例2、若关于x的方程1/（x^2-x）+（a-5）/（x^2+x）=（a-1）/（x^2-1）有增根x=0，求a的值。分析：在分式方程转化为整式方程时，扩大了未知数的取值范围，所以容易产生增根。增根的检验方法是把所求的根代入到分式方程的最简公分母中，验证分母是否等于0，而已知增根，则说明增根必是整式方程的根。解：∵1/（x^2-x）+（a-5）/（x^2+x）=（a-1）/（x^2-1），方程两边同时乘以x（x^2-1）得：x+1+（a-5）（x-1）=（a-1）x，把x=0代入上式得a=6。

　　例3、关于x的方程2/（x+1）+5/（1-x）=a/（x^2-1）有增根，求a的值。

　　解：方程两边同时乘以（x^2-1），得

　　2（x-1）-5（x+1）=a，

　　整理，得-3x-7=a，所以x=-（a+7）/3就是原方程的增根，则有[-（a+7）/3]^2-1=0，

　　即（a+7）^2=9，解得a=-10或a=-4。

　　所以当a=-10或a=-4时原方程有增根。

　　例4、若关于x的分式方程（2x+a）/（x-3）=-1无解，求a的值。

　　解原方程可化为：2x+a=-（x-3），

　　3x=a+3，解得x=（a+3）/3，

　　因为原分式方程无解，所以x=（a+3）/3是方程的增根，则有（a+3）/3-3=0，解得a=6。

　　所以当a=6时，原方程无解。

　　例5、已知关于x的方程（a+1）（b+1）/（x+1）+（a-1）（b-1）/（x-1）=2ab/x无解，且a≠b，求代数式a^2+ab+b^2的值。

　　解：方程两边同时乘以x（x+1）（x-1）得

　　x（x-1）（a+1）（b+1）+x（x+1）（a-1）（b-1）=2ab（x+1）（x-1），

　　x（x-1）（ab+a+b+1+ab-a-b+1）+2x（ab-a-b+1）=2ab（x^2-1），

　　x（x-1）（2ab+2）+2abx-2ax-2bx+2x=2abx^2-2ab，

　　2abx^2-2abx+2x^2-2x+2abx-2ax-2bx+2x=2abx^2-2ab，

　　2x^2-2ax-2bx+2ab=0，

　　（x-a）（x-b）=0，

　　解得x=a，或x=b，又因为原方程的增根（也即最小公分母x（x-1）（x+1）为0时x的值）为x=0，-1，1，又因为a≠b，所以a^2+ab+b^2=1。