初二数学：求旋转所得的一次函数有点难？掌握全等性质其实很简单

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　　求满足条件的一次函数解析式是初二数学的重要题型，本文就例题详细解析这类题型的解题思路，希望能给初二学生的期末考试复习带来帮助。

　　例题

　　如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-3,0），B为y轴正半轴上一点，将线段AB绕点B旋转90°至BC处，过点C作CD⊥x轴于点D，若四边形ABCD的面积为36，求直线AC的函数表达式。

　　解题过程：

　　1、线段AB逆时针旋转90°至BC处

　　过点C作CE⊥y轴于点E

　　根据题目中的条件：CE⊥y轴，x轴⊥y轴，CD⊥x轴，则∠AOB=∠BOD=∠BEC=∠CEO=∠CDO=90°；

　　根据结论：∠AOB=90°，∠ABC=90°，∠BAO+∠ABO=90°，∠CBO+∠ABO=90°，则∠BAO=∠CBO；

　　根据全等三角形的判定和结论：∠BAO=∠CBO，∠AOB=∠BEC，AB=BC，则△AOB≌△BEC；

　　根据全等三角形的性质和结论：△AOB≌△BEC，则AO=BE，BO=CE；

　　设BO=x

　　根据题目中的条件：

　　根据结论：A（-3,0），则AO=3；

　　根据结论：AO=3，AO=BE，则BE=3；

　　根据结论：BE=3，BO=x，则EO=x-3；

　　根据结论：BO=CE，CE=DO，BO=x，EO=CD，EO=x-3，则CE=DO=x，CD=x-3；

　　根据三角形和矩形面积公式和结论：S△AOB=AO*BO/2，S△BCE=BE*CE/2，S矩形CEOD=CE*EO，AO=3，BO=x，BE=3，CE=x，EO=x-3，则S△AOB=3/2x，S△BCE=3/2x，S矩形CEOD=x^2-3x；

　　根据结论：S四边形ABCD=S△AOB+S△BCE+S矩形CEOD=36，S△AOB=3/2x，S△BCE=3/2x，S矩形CEOD=x^2-3x，则x=6或-6；

　　根据结论：BO=x，BO>0，则x=-6舍去；

　　根据结论：x=6，CD=x-3，DO=x，则CD=3，DO=6，即点C的坐标为（6,3)；

　　设直线AC的函数解析式为y=kx+b

　　根据结论：直线AC：y=kx+b经过点A、C，C（6,3)，A（-3,0），则k=1/3，b=1；

　　所以，直线AC的函数解析式为y=1/3x+1。

　　2、线段AB顺时针旋转90°至BC处

　　过点C作CF⊥y轴于点F

　　根据题目中的条件：∠ABC=∠AOB=90°，则∠CBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，即∠CBF=∠BAO；

　　根据题目中的条件：CF⊥y轴，则∠CFB=90°；

　　根据全等三角形的判定和结论：∠BAO=∠CBF，∠AOB=∠CFB，AB=BC，则△AOB≌△BCF；

　　根据全等三角形的性质和结论：△AOB≌△BCF，则BO=CF，AO=BF；

　　设BO=x

　　根据结论：AO=3，BO=x，BO=CF，AO=BF，则BF=3，CF=x；

　　根据结论：BF=3，BO=x，则FO=BO+BF=3+x；

　　根据三角形、矩形面积公式和结论：S矩形CDOF=FO*CF，S△BCF=CF*BF/2，FO=3+x，CF=x，BF=3，则S矩形CDOF=3x+x^2，S△BCF=3/2x；

　　根据结论：S四边形ABCD=S矩形CDOF-S△BCF-S△AOB=36，S矩形CDOF=3x+x^2，S△BCF=3/2x，S△AOB=3/2x，则x=6或-6；

　　根据结论：BO=x，BO>0，则x=-6舍去；

　　根据结论：x=6，CD=FO=3+x，DO=CF=x，则CD=9，DO=6，即点C的坐标为（-6,9)；

　　设直线AC的函数解析式为y=kx+b

　　根据结论：直线AC：y=kx+b经过点A、C，C（-6,9)，A（-3,0），则k=-3，b=-9；

　　所以，直线AC的函数解析式为y=-3x-9。

　　结语

　　解决本题的关键是根据直线的旋转方向分两种情况进行讨论求解，根据题目条件给出的角度、线段间的关系，合理添加辅助线构造出一组全等三角形，得到线段间的等量关系，再利用三角形、矩形的面积公式列出等式就可以求得线段长度，进而得到一次函数图像上的点坐标，就可以求得一次函数解析式。