初中数学初二上册《全等三角形》利用“旋转法”构造全等三角形

　　利用“旋转法”构造全等三角形

　　如图，已知点E,F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，并且AF平分∠EAD。

　　求证：BE+DF=AE

　　1、要证明的BE和DF不在同一条直线上，因而要想办法将他们“组合”到同一条直线上。怎么做呢？我们可将△ADF绕点A顺时针旋转90°到△ABG的位置，则△ADF≌△ABG，利用“全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等”可以得到：DF=BG、∠AFD=∠G、∠FAD=∠GAB。

　　2、此时观察图形可以发现BE+BG=BE+DF=GE。现在我们来证明AE=GE。由条件AF平分∠EAD可得到结论：∠FAD=∠FAE=∠GAB。观察图形可以发现∠GAB+∠BAE=∠FAE+∠BAE，即∠GAE=∠BAF。

　　3、因为四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD。根据“两直线平行，内错角相等”得到结论：∠BAF=∠AFD。再根据∠GAE=∠BAF，∠AFD=∠G推出∠GAE=∠G，所以△EAG是等腰三角形，从而AE=GE=BE+BG=BE+DF，即BE+DF=AE。

　　证明：

　　将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，则△ADF≌△ABG

　　∴DF=BG （全等三角形的对应边相等）

　　∠AFD=∠G （全等三角形的对应角相等）

　　∠FAD=∠GAB （全等三角形的对应角相等）

　　∵BE+BG=GE （观察图形可以发现）

　　∴BE+DF=GE （等量代换）

　　∵AF平分∠EAD

　　∴∠FAD=∠FAE （角平分线的定义）

　　∵∠FAD=∠GAB

　　∴∠FAE=∠GAB （等量代换）

　　∵∠GAB+∠BAE=∠FAE+∠BAE （观察图形可以发现）

　　∴∠GAE=∠BAF （等量代换）

　　∵四边形ABCD是正方形

　　∴AB∥CD （正方形的对边互相平行）

　　∴∠BAF=∠AFD （两直线平行，内错角相等）

　　∵∠GAE=∠BAF

　　∠AFD=∠G

　　∴∠GAE=∠G

　　∴△EAG是等腰三角形

　　∴AE=GE

　　∵BE+DF=GE

　　∴BE+DF=AE

　　小结：本题利用旋转巧妙地将两条分离的线段连接在一起从而的证，用旋转构造全等三角形是经常用到的方法。如果您认为我的分析对您有些帮助，请把文章分享给您的同学和朋友们。