《数学月刊》：这种蛋糕的体积是有限的，表面积却是无限的

　　物体可以具有无限的表面积，但是体积是有限的，这似乎是一个悖论。悖论的一个常见解释是，将面积与体积进行比较就像苹果与橙子进行比较：面积以平方米为单位，但是体积以立方米为单位，那么为什么两者之间就应该有相互关联呢？你能找到更好的答案吗？

　　1994年一位美国大学生提出了一个蛋糕数学模型，将其发表在《数学月刊》上，我们只了解其中简单的一部分：

　　考虑一个无限高的生日蛋糕，每一层都是一个高度为1的圆柱体，该蛋糕第一层的半径是1，第二层半径是1/2，第三层半径是1/3，第n层的半径为1/n，现在要确定需要多少奶油才能覆盖整个蛋糕？

　　

　　该体积由一系列单位高度和半径减小为1/n的圆柱体组成，所有体积相加即可轻松计算出整个蛋糕的体积

　　

　　

　　体积公式为：

　　

　　这里的和就是著名的巴塞尔问题，欧拉于1734年解决这个无穷级数

　　

　　自然数平方的倒数和为

　　

　　另一方面，表面积却是无限的。通过添加圆柱曲面的面积可以很容易地看出这一点

　　

　　其证明如下

　　

　　如果体积沿x轴收缩，则环面塌陷为面积是π的单位圆

　　

　　

　　所以这种蛋糕的体积是有限的，但表面积是无限的。

　　但这个模型的意义远不止于此，还包含更为深奥的数学原理，我们不在此作过多的叙述。