关于对彩霞的辩护的公理化部分

时间：2023-08-16

　　 $X是一个社会状态集，H是至少有两个个体的一个集合， R_{h} 表示个体偏好的一个顺序，即弱偏好于$

　　 $形式上，我们可以认为 R_{h} 是X× X的子集，当且仅当x \succeq y时，集合(x,y)包含在此集合中$

　　 $X×X是关于X的二元关系$

　　 $对于h的严格偏好关系可记为P_{h}，对于h的无差异偏好关系可以记为I_{h}$

　　 $R_{h}满足完备性、反身性和可传递性，为X的一个序$

　　 $R是一个拟序，满足反身性和可传递性$

　　 $效用函数是一个映射:u→R，R∈?，当u(x)≥u(y)，\\ 且xRy成立时，效用函数表示关于X的偏好顺序R$

　　 $xRy成立即“当x\succ y成立时，u（x）＞u（y）；当x \sim y成立时，u（x）＝u（y）”$

　　 $如果u_{h}是偏好顺序R_{h}的效用函数，我们可以通过分布u＝(u_{1}、u_{2}、u_{3}...u_{h})来表示R的分布$

　　 $设X是一个有限可选的社会状态集合，\mathcal{R}是关于X的所有排序的集合\\因此，对社会选择的规则性描述可以表达为从子集\mathcal{D}?\mathcal{R}^{H}到\mathcal{R}的一个映射(\mathcal{R}^{H}是笛卡尔积)$

　　 $设\mathcal{U}是R的分布的集合，此时对社会选择的规则性描述表达为从子集\mathcal{D}?\mathcal{U}到\mathcal{R}的一个映射F$

　　 $设X_{m}表示将商品m分配给分配给H个体的分配方案集合\\显然x∈X_{m}是R_{mH}中的一个非负向量，此时x=(x_{1}、x_{2}、x_{3}...x_{h})$

　　 $\mathcal{U}是R的分布的集合，可以记\mathcal{U}为u＝(u_{1}、u_{2}、u_{3}...u_{h})的分布\\显然，每个u_{h}在R_{m}上都为连续、自我关涉、递增、的准凹函数，定义域\mathcal{U}显著受限$

　　[^1]: John Roemer,Donaldson, 1987

　　 $技术条件限制下，?u_{h}满足\lim\limits_{t→∞}t^{-1}u_{h}(tx_{h})=0$

　　 $(X_{m},\mathcal{U})可以用来表征经济环境$

　　条件WP（弱帕累托最优） $如果x,y∈X，并且对所有的h，xP_{h}y成立，则xPy也成立\\即如果对于所有人x \succeq y，则对于社会选择x \succeq y$ 条件WP* $设x,y∈X，u属于\mathcal{U}。如果对所有的h，u_{h}(x)>u_{h}(y),x \succeq y成立，其中R=F（u）$ 条件A $?m，映射F使\mathcal{U}_{m}中的任意分布和X_{m}相关，记为F=｛F_{m}｝$ 条件COAD（社会排序跨维度一致性公理） $设F=｛F_{m}｝为社会选择函数，(x,r)表示在R_{(m+n)H}中的分配\\(x_{h},r_{h})为分配给个体h 的商品束，其中x_{h}∈R_{m}，r_{h}∈R_{n}$

　　 $令\tilde{r}∈R_{nH}，u∈，并令u∈\mathcal{U}_{mn}和\tilde{r}∈\mathcal{U}_{m}为满足条件Pr的两种分布$

　　 $条件Pr为：对于所有的h和所有的向量x∈R_{m},\tilde{r}_{h}(x)=u_h(x,\tilde{r}_{h})$

　　 $因此，在对于R_{(m+n)H}中的任意一对分配(x_{1},\tilde{r})与(x_{1},\tilde{r})\\当且仅当F_{m}(\tilde{u})对x_{1}的排序优先于x_{2}，F_{m+n}(u)对x_{1}的排序优先于x_{2}$

　　 $相较于u，\tilde{u}表征了人口特征$

　　 $设每个个体h内部的禀赋为束R_{h}（神经递质，突触系统etc.）\\则可以认为个体h对所有m+n的善拥有的效用可以用u_{h}表征\\因此，对于任意向量x_{h}∈R_{m},\tilde{u}_{h}(x_{h})=u_{h}(x_{h},r_{h})成立$

　　[^2]: John Roemer, Theories of Distributive Justice pp.41-42

　　John Roemer认为内部善的禀赋是固定且无法耗尽的，但彩霞不这样认为。

　　条件SC（对称选择公理） $设ω为经济空间R_{m}中商品的社会总禀赋，用A(ω)来表示对H中的成员所有可能的分配方案\\当善在个体间自由转让时A(ω)｛x∈R_{mH}$

　　 $与可行分配A(ω)和效用函数u相关的效用可能性集记作S(ω,u)\\S(ω,u):=｛u=(x_{1}、...、x_{h})∈R_{H}$

　　[^s.t]: subject to

　　 $假设函数F=｛F_{m}｝具有连续性，由F_{m}(u)可知A(ω)存在对社会最优的元素集B_{F}(ω,u)$

　　 $对所有m和所有ω∈R_{m}，若u∈\mathcal{U}_{m}的所有元素都相等，且如果x∈B_{F}(ω,u)，那么\\u_{1}(x_{1})=...=u_{H}(x_{h})$

　　条件RMON（资源单调性公理） $对所有的m及所有的u∈\mathcal{U}_{m}，如果ω,\tilde{ω}∈R_{m}，且\tilde{ω}≥ω，\\那么存在\tilde{x}∈B_{F}(ω,\tilde{u})使u(\tilde{x})≥u(x)成立$

　　[^3]: Paul M.Romer, 1986a

　　由上述条件可得以下定理： $当且仅当min｛u_{h}(x)≥min$

　　[^4]: 证明过程见John Roemer,Donaldson, 1987 中的定理8

　　上述定理是罗尔斯正义论中最大化最小（maxmin）规则的公理化论证，罗尔斯用该理论论证了一种平等主义立场，并认为按照该理论的说明，当产品更加丰富时，每个人都能够获得弱增益。

　　但彩霞对该理论仍然抱持一种怀疑态度。

　　考虑有甲乙两个个体，并且有两类产品，分别是调节人内部善的禀赋的产品（如作为神经递质的内啡肽），和其它产品（如火锅食材）。假设如果没有内啡肽，甲从火锅中几乎不能得到任何效用。只有服用内啡肽后，甲才能振作起来，享受生活的乐趣（比如吃红油火锅）；相比之下，乙具有非常良好的内分泌系统，有没有作为产品的内啡肽都不影响乙在消费火锅时获得的效用。考虑两种禀赋情境：在情境一中，有一定量的火锅食材，没有内啡肽；而在情境二中，有相同量的火锅食材，且有充足的内啡肽。在情境一中，按上述定理的表述，应该把所有火锅食材都分给乙，因为甲很难在火锅里获得效用；而在情境二中，按上述定理的表述，应该把所有内啡肽都分给甲，并分给两者相应数量的火锅食材。这表明当产品更加丰富时，不是每个人都获得弱增益，产品更丰富了，乙不仅没获得弱增益，情形对乙来说还变坏了。而且，现实中有很多商品兼具内部善的禀赋和其它禀赋，如巧克力中的苯乙胺作为单胺类神经递质，能够帮助某些种类的患者从产品中获得更多的效用（无论是否是该产品本身）。而且一个人的内分泌系统是处于变化之中的，受很多因素影响，要想对其进行探究，上述的模型远远不够。研究内部善禀赋对产品分配的影响以及其伦理学意义，一个有吸引力的方向是用函数模型替代之前作为常数的m；当然，也有很多其它的研究方向。