数学都知道 —— arXiv专辑（2022.03.02）

时间：2023-08-07

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　　ArXiv.org Reaches a Milestone and a Reckoninghttps://www.solidot.org/story?sid=70413

　　1月3日预印本平台 arXiv 的论文数量突破 200 万篇：第 200 万篇是数值分析论文《Affine Iterations and Wrapping Effect: Various Approaches》。arXiv 诞生于 1991 年，创始人Paul Ginsparg 在 2001 年加入了康奈尔大学，arXiv 网站随后由康奈尔大学图书馆接手。在 arXiv 诞生之前，对于递交到科学期刊的论文，作者通常需要等待半年甚至更长时间才能出版，而递交到 arXiv 的论文通常能在一天之内上线。2008 年上线 18 年的 arXiv 论文数突破了 50 万篇，2015 年突破一百万篇，2022 年突破 200 万，论文数量在 7 年内翻了一番。相关阅读：https://mp.weixin.qq.com/s/kxgPPaepVp3BvRMCgRuyEA 刚刚，arXiv论文数破200万！没有arXiv，就没有21世纪的科研突破

　　Submission to arXivhttps://johncarlosbaez.wordpress.com/2022/02/04/submission-to-arxiv/

　　《皇家天文学会月刊》是天文学、天体物理学和宇宙学领域最古老、最负盛名的期刊之一。作者最新的 MNRAS 论文不允许出现在 arXiv 的 astro-ph 类别中，因为它被重新分类为一个不合适的类别，原因有几个。这绝对不是由于某些技术错误、误解或疏忽造成的。作者花了三个多月的时间才被告知为什么它被重新分类，而且只有在一位著名的宇宙学家威胁 arXiv 的科学主管之后，如果事情没有得到澄清，他会向 arXiv 的赞助商投诉。此外，有证据表明我得到的原因不是真实的。相关阅读：https://golem.ph.utexas.edu/category/2022/02/submission_to_arxiv.html

　　Articles from arXiv.org as responsive HTML5 web pageshttps://ar5iv.org

　　使用 LaTeXML 从 arXiv的文章的TeX版本转换得到HTML网页。不过，存在不符合 TeX 质量的数学公式格式。

　　A brief guide for a successful teaching assistantshiphttps://arxiv.org/abs/2201.00071

　　本文为成功的研究生助教提供了简要指导。尽管本文中提到的组件主要针对被指定为具有多个部分的“基础科学与数学”(BSM) 模块的数学课程，但该原理也可以应用于其他课程和机构。

　　Discrete Empirical Interpolation and unfitted mesh FEMs: application in PDE-constrained optimizationhttps://arxiv.org/abs/2010.09059

　　这项工作研究了 CutFEM 作为高保真求解器的性能，并为位于固定背景几何和网格中的参数化域中的 PDE 约束优化问题构建了一个称职且经济的降阶求解器。其有效性和可靠性将通过其在以椭圆方程为约束的二次优化问题的数值解中的应用来评估，检查一个原型案例。减少策略将通过合适的有限元快照的适当正交分解，使用聚合状态和伴随测试空间，而离线-在线解耦的效率将通过最优系统矩阵的离散经验插值和右手侧，从而能够快速解析每个新空间配置的降阶模型。

　　ARPIST: Provably Accurate and Stable Numerical Integration over Spherical Triangleshttps://arxiv.org/abs/2201.00261

　　球面数值积分，包括球面三角形面积的计算，是地球数学的核心计算。常用的技术有时会受到不稳定和严重损失的影响。作者描述了一种称为 ARPIST 的新算法，用于对球面三角形上的函数进行准确和稳定的积分。

　　Supporting Proving and Discovering Geometric Inequalities in GeoGebra by using Tarskihttps://arxiv.org/abs/2201.00544

　　本文介绍了一个可以自动证明或发现几何不等式的软件工具系统。该系统称为 GeoGebra Discovery，由 GeoGebra 的扩展版本、一个控 Web 服务器 realgeom 和计算工具 Tarski（在 QEPCAD B 系统的广泛帮助下）组成，成功解决了欧几里得平面中与不等式有关的几何中。相关链接：https://arxiv.org/abs/2201.00545 Parametric Root Finding for Supporting Proving and Discovering Geometric Inequalities in GeoGebrahttps://arxiv.org/abs/2202.04627 Automated Discovery of Geometrical Theorems in GeoGebra

　　A Mixed Integer Programming Approach to Training Dense Neural Networkshttps://arxiv.org/abs/2201.00723

　　人工神经网络 (ANN) 是流行的机器学习模型，已应用于各种现实世界的分类任务。人工神经网络需要大量数据才能具有强大的样本，许多训练人工神经网络参数的算法都是基于随机梯度下降（SGD）的。然而，往往在预测任务上表现最好的 SGD 人工神经网络是以端到端的方式训练的，这需要大量的模型参数和随机初始化。这意味着训练 ANN 非常耗时，并且生成的模型需要大量内存来部署。为了训练更简约的 ANN 模型，本文建议使用约束优化文献中的替代方法进行 ANN 训练和预训练。特别是，本文提出了用于训练全连接 ANN 的新型混合整数规划 (MIP) 公式。

　　On a density conjecture about unit fractionshttps://arxiv.org/abs/2112.03726

　　一个具有正密度的正整数集合一定包含不同的整数

　　使得它们的倒数和为1.

　　Max/Min Puzzles in Geometryhttps://arxiv.org/abs/2201.02050

　　本文的目标是找到可以包含在给定的三角形中的最大面积的多边形。多边形包括平行四边形、矩形和正方形。最初假设选择的是内接多边形，即多边形的所有顶点都在三角形的边上。稍后将推广此概念以包括楔形多边形。

　　A new representation of the Stieltjes constantshttps://arxiv.org/abs/2201.05084

　　斯蒂尔吉斯常数，记为，是出现在黎曼ζ函数的罗朗级数展开式中的数：斯蒂尔吉斯常数由以下的极限给出：还有一种积分表示法，可由柯西积分公式推出：第零个常数称为欧拉-马歇罗尼常数。本文以傅里叶级数极限的形式提出了 Stieltjes 常数的新表示。相关阅读：https://en.wikipedia.org/wiki/Stieltjes_constants

　　An Illustrated Introduction to the Ricci Flowhttps://arxiv.org/abs/2201.04923

　　里奇流是微分几何中最重要的主题之一，也是现代几何分析的中心焦点。本文对这一主题进行了图解介绍，旨在面向普通读者。目标是提供里奇流的工作定义以及对其行为的一些直觉，而不假设任何微分几何或拓扑的先决知识。

　　Finite difference and finite element methods for partial differential equations on fractalshttps://arxiv.org/abs/2201.08433

　　本文介绍了计算分形上的偏微分方程解的数值程序。特别是，作者考虑了使用标准图拉普拉斯矩阵的方程的强形式，以及使用分形集的离散近似的标准长度或面积测量导出的方程的弱形式。然后引入了一个数值过程来归一化获得的扩散，即一种计算分形集上实际偏微分方程定义中所需的重整化常数的方法。一个详细研究的特殊情况是谢尔宾斯基三角形中狄利克雷问题的解。还提供了其他示例，包括非平面 Hata 树。

　　A Non-Expert's Introduction to Data Ethics for Mathematicianshttps://arxiv.org/abs/2201.07794

　　作者简要介绍了数据伦理。主要受众是数学家，但希望讨论也对其他人有用。作者不是数据伦理方面的专家，这篇文章只是一个起点。作者鼓励读者检查所讨论的资源，并继续仔细思考数据伦理以及数据和数据分析在他们一生中的社会影响。相关阅读：https://arxiv.org/abs/2202.00705 Situating "Ethics in Mathematics" as a Philosophy of Mathematics Ethics Education

　　Mathematics and Mathematics Education in the 21st Centuryhttps://arxiv.org/abs/2201.08364

　　数学进入了其历史上前所未有的变革时期，甚至可能是一场革命：转向使用计算机作为证明生产的助手和检查员。这需要重新思考传统的数学教育方法，这种方法本身就面临着社会经济和政治危机。数学界面临着潘多拉魔盒的问题，令人惊讶的是，这些问题通常不会以任何关联的形式进行讨论。本文试图以一种更加联合和有凝聚力的方式来解决这个问题。

　　Max/Min Puzzles in Geometry IIhttps://arxiv.org/abs/2201.08352

　　本文继续研究寻找可以内接在给定三角形中的最大/最小多边形。在这里，我们关注等边三角形。起初这可能看起来无趣或无害，但后来有一些惊喜。相关阅读：https://arxiv.org/abs/2201.02050v3

　　General approach to function approximationhttps://arxiv.org/abs/2201.07983

　　给定一个函数

　　和一组泛函

　　，

　　，人们可以非常一般地将函数逼近解释为某个函数

　　的构造，使得

　　。所有已知的近似值都可以用这种方式解释，作者回顾了其中的一部分。此外，构建了几种新的扩展类型，包括三个有理近似。

　　Error analysis for a statistical finite element methodhttps://arxiv.org/abs/2201.07543

　　最近提出的统计有限元 (statFEM) 方法将测量数据与有限元模型相结合，并允许对真实系统响应进行预测。作者为基于高斯过程先验的原型 statFEM 设置提供概率误差分析，假设噪声测量数据由确定性真实系统响应函数生成，该函数满足未知真实源项的二阶椭圆偏微分方程.在某些情况下，高斯过程模型可能会错误指定源项的平滑度等属性。我们得出的误差估计是对真实系统响应与 statFEM 后验平均值之间差异的

　　范数的测量噪声的期望。估计意味着测量点数量和有限元基函数的多项式收敛率，并取决于真实源项的 Sobolev 平滑度和高斯过程模型。

　　The Compression method and applicationshttps://arxiv.org/abs/1912.08075

　　本文介绍并发展了空间点压缩的方法。作者介绍了质量、秩、熵、覆盖和压缩能量的概念。作者利用这种方法来证明某些与丢番图方程相关的不等式。特别是，作者证明对于每个 $Ln-1，存在一些(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in \mathbb{N}^n与x_i\neq x_j对于所有1\leq i

　　The Social and Work Structure of an Afterschool Math Clubhttps://arxiv.org/abs/1710.10618

　　这项探索性研究的目的是检查中学生课后数学俱乐部的人际动态。使用社交网络分析，识别和分析了两个网络：（a）友谊关系网络和（b）工作关系网络。研究了友谊关系、工作关系和学生意见调查之间的相互联系和相关性。我们从工作关系网络中确定了一个核心学生工作组。这个小组充当了俱乐部其他成员的中心中间人。这个核心工作组也扩展为友谊网络中最大的友谊组。第二组由受欢迎但冷漠的学生组成，他们报告说俱乐部的影响较小。尽管有工作隔离者，但并未发现他们在社会上是孤立的。较不受欢迎的学生往往报告说，参加俱乐部的有利影响比那些更受欢迎的学生更大。

　　GeoGebra Discovery in Contexthttps://arxiv.org/abs/2201.07362

　　本文将通过一系列精选示例来反映 GeoGebra Discovery 应用程序对不同社会和教育环境的潜在影响。

　　Categorical Torelli theorems: results and open problemshttps://arxiv.org/abs/2201.03899v1

　　这是一篇很好的调查论文，关于平滑射影变体的派生类别（子类别）如何控制变体的几何形状。相关阅读：https://en.wikipedia.org/wiki/Torelli_theoremhttps://pbelmans.ncag.info/blog/2022/01/23/fortnightly-links-146

　　Infinite Hex is a drawhttps://arxiv.org/abs/2201.06475

　　作者介绍了无限六边形网格的博弈，将熟悉的有限博弈扩展到无限六边形格子上的自然博弈。虽然有限游戏对第一个玩家来说是胜利，但我们相反证明了无限十六进制是平局——两个玩家都有平局策略。同时，现在在无限棋和无限棋中大量展示的超有限博弈价值现象，很遗憾在无限十六进制中没有出现。只有有限的游戏价值出现。事实上，无限六边形网格中的每个游戏价值位置本质上都是局部的，这意味着获胜游戏仅取决于棋盘的固定有限区域。后一个事实在非常普遍的假设下得到证明，为所有简单的石头放置游戏建立了结论。

　　Foundations of abstract probability theoryhttps://arxiv.org/abs/2110.02009

　　本文介绍抽象或一般概率论的基本概念。利用抽象代数的思想，引入了抽象测度的概念。定义了一个抽象的概率度量，它从某些集合中获取元素的值，并满足一个公理系统，该公理系统推广了科尔莫戈罗夫公理系统。证明了抽象概率测度具有与经典概率测度相似的性质，并获得了计算条件抽象概率的公式。证明了贝叶斯定理和全概率定律的抽象类似物。引入了随机变量的抽象概率分布的概念。此外，定义了一个抽象的勒贝格积分，并确定了抽象的期望值算子。之后，描述了抽象概率论的一些特殊情况。

　　Linearity of homogeneous solutions to degenerate elliptic equations in dimension threehttps://arxiv.org/abs/2111.09232

　　给定一个线性椭圆方程

　　，确定其一阶齐次解

　　是否为线性是一个经典问题。根据 Martinez-Maure 的构造，答案通常是否定的。相比之下，在一致椭圆情况下，根据 Han、Nadirashvili 和 Yuan 的定理，答案是肯定的，并且确定

　　上的退化椭圆条件是一个已知的开放问题，在该条件下该定理仍然存在持有。在本文中，我们解决了这个问题。我们证明了在

　　的以下退化椭圆条件下

　　的线性，Martinez-Maure 的例子很明确：如果

　　表示最大和最小特征值之间的比率对于

　　，我们假设

　　位于

　　中，对于一些连通开集

　　与

　　中长度为

　　的四个不相交的闭合测地线弧的任何配置相交。我们的结果也给出了最清晰的版本，Alexandrov、Koutroufiotis 和 Nirenberg 的一个旧猜想（被 Martinez-Maure 的例子所证明）成立。

　　Existence, Uniqueness and Smoothness for Incompressible Navier-Stokes Equationshttps://arxiv.org/abs/2201.09480

　　对于任何无散初始数据

　　与对于一些

　　，在

　　或直到由初始数据和来自热核和 Riesz 变换的上限的三个常数明确给出的时间。对于有界的初始数据，也证明了温和适定性。对两种类型的解都证明了最大时间有限的爆破。

　　Reasoning by Analogy in Mathematical Practicehttps://arxiv.org/abs/2202.02202

　　著名数学家的证词和实践表明，数学中表面类比和深层类比之间存在重要的现象学和认识论差异。本文提供了数学中类比推理的描述性理论，说明了类比可以为数学猜想提供真正归纳支持的一般条件（除了履行心理学意义上的“暗示”猜想的单纯启发式作用） )。提出的条件概括了 Hesse (1963) 在她关于经验科学中类比推理的有影响力的工作中提出的标准。通过参考几个案例研究，作者认为与 Bartha (2009) 所捍卫的突出替代方案相比，本文提出的说明在证明数学中类比推理的使用方面做得更好。此外，作者的提议为扩展到已知在有限域中的无限情况数学属性的实践提供了新的见解。

　　Some Fundamental Theorems in Mathematicshttps://arxiv.org/abs/1807.08416

　　本文选出了250个基本定理。选择标准是以其优雅的表述、美观和用途，以及是否可以作为指导而又不会引起恐慌。哪些数学定理是最重要的？这是一个复杂的变分问题，因为定义“价值”是经济学中一个普遍而根本的问题。这个概念的难点在于，“价值”往往是一个品味或时尚或社会影响的问题，因此是一个复杂社会系统的平衡。价值可以迅速变化，有时是由小事触发的。

　　A Trust Region Method for Pareto Front Approximationhttps://arxiv.org/abs/2202.04859

　　本文考虑了没有解析地给出所有目标函数的黑盒多目标优化问题。在多目标优化中，重要的是在帕累托前沿上生成一组均匀分布的离散解，以建立良好的近似。在黑盒双目标优化中，可以利用帕累托前沿的排序特性来评估解之间的距离。这些距离允许能够评估所有解点的分布，因此保持解分布的均匀性并不困难。然而，多于两个目标的问题不具有排序特性，因此需要注意这些问题需要其他技术来测量覆盖率并保持解分布的均匀性。本文提出了一种基于信任域方法的算法，用于黑盒多目标优化中的帕累托前沿近似。

　　Unsolved Problems in Group Theory. The Kourovka Notebookhttps://arxiv.org/abs/1401.0300

　　这是由来自世界各地的数百名数学家提出的群论中的未解决问题的集合。自 1965 年以来，它每 2-4 年在新西伯利亚出版一次。这是第 20 版，其中包含 126 个新问题和对前几版问题的一些评论。

　　A simple sum for simpliceshttps://arxiv.org/abs/2202.05156

　　我们给出了

　　中

　　个点的向量恒等式。由此推论，当

　　为奇数时，

　　-单纯形的有符号体积之和为零，而当

　　为偶数时，有符号体积的交替总和为零。

　　Tutorial: Topology, waves, and the refractive index

　　https://arxiv.org/abs/2202.08643

　　本教程分为两部分：第一部分检查拓扑在波物理问题中的应用。回顾了陈数的起源，表明它计算了表面上复杂切向量场的临界点的数量。然后，我们展示了在计算任何线性系统中模式的色散时这个量自然出现，并举例说明了它在连续和周期性材料中寻找单向传播界面模式的应用。第二部分提供了陈数的物理解释，基于它记录的临界点可以理解为折射率消失的点的想法。利用晶体光学理论，我们证明了当折射率在复值方向上消失时，波被迫只在一种意义上循环，这就是拓扑界面态单向传播的起源。最后，我们证明了“复杂方向上的零折射率”这一概念可以用作寻找支持单向界面态的声学和电磁材料的捷径。点“在看”，分享给朋友吧！