高中数学经典模块
一、基础知识
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫作等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝2(a＋b)，其中A叫作a，b的等差中项．
在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋2(n(n－1))d＝2(n(a1＋an)).
3．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系
(1)an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列．
(2)数列{an}是等差数列，且公差不为0Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
二、常用结论
已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)在等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．
(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)．
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.
(5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(6)若{an}是等差数列，则n(Sn)也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的2(1).
(7)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；S偶(S奇)＝an＋1(an).
(8)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；S偶(S奇)＝n－1(n).
(9)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则满足am＋1≤0(am≥0，)的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a1<0，d>0，则满足am＋1≥0(am≤0，)的项数m使得Sn取得最小值Sm.
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A．－12 B．－10
C．10 D．12
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝4，S4＝22，an＝28，则n＝( )
A．3 B．7
C．9 D．10
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝ －10.
(2)因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4a2＋2d＝22，d＝2((22－4a2))＝3，a1＝a2－d＝4－3＝1，an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，由3n－2＝28，解得n＝10.
[答案] (1)B (2)D
[解题技法] 等差数列的基本运算的解题策略
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
[提醒] 在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．
[题组训练]
1．(2019·开封高三定位考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a5＝10，S4＝16，则数列{an}的公差为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 设等差数列{an}的公差为d，则由题意，得×d＝16，(4×3)解得d＝2，(a1＝1，)故选B.
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3·a5＝12，a2＝0.若a1>0，则S20＝( )
A．420 B．340
C．－420 D．－340
解析：选D 设数列{an}的公差为d，则a3＝a2＋d＝d，a5＝a2＋3d＝3d，由a3·a5＝12得d＝±2，由a1>0，a2＝0，可知d<0，所以d＝－2，所以a1＝2，故S20＝20×2＋2(20×19)× (－2)＝－340，选D.
3．在等差数列{an}中，已知a5＋a10＝12，则3a7＋a9＝( )
A．12 B．18
C．24 D．30
解析：选C 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，因为a5＋a10＝12，
所以2a1＋13d＝12，
所以3a7＋a9＝3(a1＋6d)＋a1＋8d＝4a1＋26d＝2(2a1＋13d)＝2×12＝24.
[典例] 已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝2(1).
(1)求证：Sn(1)是等差数列．
(2)求an的表达式．
[解] (1)证明：因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，
又an＝－2Sn·Sn－1，所以Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0.
因此Sn(1)－Sn－1(1)＝2(n≥2)．
故由等差数列的定义知Sn(1)是以S1(1)＝a1(1)＝2为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知Sn(1)＝S1(1)＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，
即Sn＝2n(1).
由于当n≥2时，有an＝－2Sn·Sn－1＝－2n(n－1)(1)，
又因为a1＝2(1)，不适合上式．
所以an＝，n≥2.(1)
[题组训练]
1．(2019·陕西质检)已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，则S7等于( )
A．13 B．49
C．35 D．63
解析：选B 由Sn＝an2＋bn(a，b∈R)可知数列{an}是等差数列，所以S7＝2(7(a1＋a7))＝2(7(a2＋a6))＝49.
2．已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－an－1(1)(n≥2，n∈N*)，设bn＝an－1(1)(n∈N*)．求证：数列{bn}是等差数列．
证明：∵an＝2－an－1(1)(n≥2)，∴an＋1＝2－an(1).
∴bn＋1－bn＝an＋1－1(1)－an－1(1)＝－1(1)－an－1(1)＝an－1(an－1)＝1，
∴{bn}是首项为b1＝2－1(1)＝1，公差为1的等差数列．
考法(一) 等差数列项的性质
[典例] (1)已知在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝( )
A．10 B．20
C．40 D．2＋log25
(2)(2019·福建模拟)设Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，若a5＝2b5，则T9(S9)＝( )
A．2 B．3
C．4 D．6
[解析] (1)因为2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4，
所以log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log225×4＝20.选B.
(2)由a5＝2b5，得b5(a5)＝2，所以T9(S9)＝2(9(b1＋b9))＝b5(a5)＝2，故选A.
[答案] (1)B (2)A
考法(二) 等差数列前n项和的性质
[典例] 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
A．63 B．45
C．36 D．27
[解析] 由{an}是等差数列，
得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，
即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B.
[答案] B
考法(三) 等差数列前n项和的最值
[典例] 在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为( )
A．S15 B．S16
C．S15或S16 D．S17
[解析] ∵a1＝29，S10＝S20，
∴10a1＋2(10×9)d＝20a1＋2(20×19)d，解得d＝－2，
∴Sn＝29n＋2(n(n－1))×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.
∴当n＝15时，Sn取得最大值．
[答案] A
[解题技法]
1．应用等差数列的性质解题的2个注意点
(1)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝2(1)(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值．
(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，d＝n－m(an－am)，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝2(n(a1＋an))＝2(n(a2＋an－1))(n，m∈N*)等．
2．求等差数列前n项和Sn最值的2种方法
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：
①当a1>0，d<0时，满足am＋1≤0(am≥0，)的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1<0，d>0时，满足am＋1≥0(am≤0，)的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
[题组训练]
1．在等差数列{an}中，若a3＝－5，a5＝－9，则a7＝( )
A．－12 B．－13
C．12 D．13
解析：选B 法一：设公差为d，则2d＝a5－a3＝－9＋5＝－4，则d＝－2，故a7＝a3＋4d＝－5＋4×(－2)＝－13，选B.
法二：由等差数列的性质得a7＝2a5－a3＝2×(－9)－(－5)＝－13，选B.
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为( )
A．6 B．7
C．12 D．13
解析：选C 因为a1>0，a6a7<0，所以a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，所以S12>0，S13<0，所以满足Sn>0的最大自然数n的值为12.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，则数列{an}的项数为________．
解析：由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①
an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②
①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，
∴a1＋an＝36，又Sn＝2(n(a1＋an))＝324，
∴18n＝324，∴n＝18.
答案：18
举报/反馈