斜投影矩阵进阶第二弹

时间：2023-06-10

　　本次给出几个关于斜投影矩阵的进阶命题，由斜投影性质可以发现此类投影阵一般不具有唯一性，故常以 $\{P_{A$ 表示一类可以称为斜投影矩阵的矩阵的集合。

　　以下给出几个命题。

　　设 $\mathcal{M}(A) \cap \mathcal{M}(B)=0$ ，即 $A$ 与 $B$ 所张成子空间不交，则有 $P\in \{P_{A$ $\Longleftrightarrow$

　　 $P=A\left({B^{\perp}}' A\right)^{-}{B^{\perp}}'+D{(A: B)^{\perp}}' \\$

　　其中 $D$ 为适当阶数的矩阵， $C^{\perp}$ 表示满足 $C'C^{\perp}=0$ 且具有最大秩的矩阵。

　　对任一 $x\in \mathcal{M}(A:B)$ ，作分解 $x=y+z$ ,其中 $y\in \mathcal{M}(A)$ , $z\in \mathcal{M}(B)$ 。

　　故有存在向量 $\alpha$ ， $\beta$ ，s.t.， $y=A\alpha$ ， $z=B\beta$ 。故由斜投影矩阵定义可知：

　　 $P \in\left\{P_{A \mid B}\right\} \Longleftrightarrow y=P x, 对一切 x \\$ $\Longleftrightarrow A a=P(A a+B \beta), \text { 对一切 } \alpha, \beta \\$ $\Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l} P A=A \\ P B=0 \end{array}\right. (1) \\$

　　记 $U_{1}$ 为

　　 $\left\{\begin{array}{l} X A=A \\ X B=0 \end{array}\right.(2) \\$

　　一个特解， $U_{2}$ 为

　　 $\left\{\begin{array}{l} X A=0 \\ X B=0 \end{array}\right.(3) \\$

　　的通解，则(1)的解为 $P=U_{1}+U_{2}$

　　由 $U_{1}B=0$ $\Rightarrow$ $\mathscr{M}\left(U_{1}^{\prime}\right) \subset \mathscr{M}\left(B^{\perp}\right)$ $\Rightarrow$ 存在矩阵 $K$ , 使得 $U_{1}=K\left(B^{\perp}\right)^{\prime}$ ，将其代入(2)的第一个方程可知： $K\left(B^{\perp}\right)^{\prime}A=A$ ，此为相容方程组，故其解可表示为 $K=A({B^{\perp}}^{\prime}A)^{-}$ ，代入 $U_{1}$ 表达式可知：

　　 $U_{1}=A({B^{\perp}}^{\prime}A)^{-}{B^{\perp}}^{\prime} \\$

　　下求 $U_{2}$ 表达式，将(3)改写为 $X(A:B)=0$ ，由假设可知 $U_{2}$ 为此方程的一个解，故有 $U_{2}(A:B)=0$ ，故有存在合适阶数的矩阵 $D$ ，使得

　　 $U_{2}=D{(A:B)^{\perp}}' \\$

　　结合 $U_{1}$ 表达式可知

　　 $P=U_{1}+U_{2}=A({B^{\perp}}^{\prime}A)^{-}{B^{\perp}}^{\prime}+D{(A:B)^{\perp}}' \\$

　　可以将此表达式与上期推文中的斜投影矩阵表达式进行对比，看看二者有何区别与联系。

　　若 $\mathscr{M}(A) \oplus \mathscr{M}(B)=R^{n}$ , 则

　　 $P_{A$

　　此时的斜投影矩阵 $P_{A$ 唯一，且具有幂等性。

　　由 $\mathscr{M}(A) \oplus \mathscr{M}(B)=R^{n}, \quad$ 得 $r(A: B)=n$ ，故(1)有唯一解，且形如 $P_{A$ ，其可由 $\mathscr{M}(A) \oplus \mathscr{M}(B)=R^{n}$ 得其补空间为 $0$ 空间，故此时 $D{(A:B)^{\perp}}'=0$ .

　　 $P_{A$

　　此处第一个等号由 $A^{-}AA^{-}$ 亦为 $A$ 的一个广义逆可得。

　　故有 $P_{A$ 为幂等阵，证毕。

　　设 $\mathscr{M}(C) \cap \mathscr{M}(D)=\{0\}$ , 则

　　 $\left\{P_{C$

　　 $''\Rightarrow''$ 对任给的 $U$ ，可知

　　 $P=C\left(D^{\perp \prime} C\right)^{-} D^{\perp^{\prime}}+U(C: D)^{\perp \prime} \in\left\{P_{C$

　　若 $\left\{P_{C$ ，则有 $P\in \{P_{A$ ，由其定义可知其满足：

　　 $\left\{\begin{array}{l} P A=A \\ P B=0 \end{array}\right. \\$

　　在 $(4)$ 中取 $U=0$ 并代入上述方程组的第一个方程可知：

　　 $C\left(D^{\perp \prime} C\right)^{-} D^{\perp^{\prime}}A=A \\$

　　由子空间包含的定义可知， $\mathcal{M}(A)\subset \mathcal{M}(C)$ 。

　　将 $(4)$ 代入上述方程组的第二个方程可知，

　　 $C\left(D^{\perp \prime} C\right)^{-} D^{\perp \prime} B+U(C : D)^{\perp \prime} B=0(5) \\$

　　由 $U$ 的任意性可知，仍取 $U=0$ ，上式退化为

　　 $C\left(D^{\perp \prime} C\right)^{-} D^{\perp \prime} B=0(6) \\$

　　据 $(5)$ 可知， $U(C : D)^{\perp \prime} B=0$ ，据 $U$ 的任意性可知， $(C : D)^{\perp \prime} B=0$ ，由 $(C : D)^{\perp}$ 的定义可知：存在某个适当阶数的矩阵 $K$ ，使得 $B=(C : D)K$ ，故可知 $\mathcal{M}(B)\subset \mathcal{M}(C:D)$ ，即 $B=CS+DT$ ，对于某个 $S$ 和 $T$ 。

　　将 $B$ 表达式代入 $(6)$ 可知：

　　 $0=C\left(D^{\perp \prime} C\right)^{-} D^{\perp \prime}(CS+DT) \\$ $=C\left(D^{\perp \prime} C\right)^{-} D^{\perp \prime}CS+C\left(D^{\perp \prime} C\right)^{-} D^{\perp \prime}DT \\$ $=C\left(D^{\perp \prime} C\right)^{-} D^{\perp \prime}CS \\$

　　在此式左右两端同乘 ${D^{\perp}}'$ 可得：

　　 $0={D^{\perp}}'C\left(D^{\perp \prime} C\right)^{-} D^{\perp \prime}CS= D^{\perp \prime}CS \\$

　　即有

　　 $0=D^{\perp \prime}CS+D^{\perp \prime}DT=D^{\perp \prime}(CS+DT)=D^{\perp \prime}B \\$

　　故有存在矩阵 $M$ ，使得 $B=DM$ ，故有 $\mathcal{M}(B)\subset \mathcal{M}(D)$ 。

　　 $''\Leftarrow''$ 设 $P\in \{P_{C$ ，故有 $PC=C,PD=0$ ，由于 $\mathscr{M}(A) \subset \mathscr{M}(C), \mathscr{M}(B) \subset \mathscr{M}(D)$ ，故有存在矩阵 $L_{1},L_{2}$ 使得 $A=CL_{1}$ ， $B=DL_{2}$ ，故有

　　 $PA=PCL_{1}=CL_{1}=A \\$ $PB=PDL_{2}=0 \\$

　　故有 $P\in \{P_{A$ ，即 $\left\{P_{C$ ，证毕。

　　本次证明的相关细节及思路参考王松桂老师的书籍线性模型的理论及其应用。

　　[1] 王松桂. 线性模型的理论及其应用[M]. 安徽教育出版社, 1987.

　　[2]张贤达. 矩阵分析与应用[M]. 清华大学出版社, 2013.