《量子力学曾谨言 卷1+量子力学卷2 第五版 现代量子力学教程 大学FQTSLE

　　第1章量子态的描述 1.1量子力学基本原理的回顾 1.1.1波动-粒子两象性，波函数的统计诠释 经典力学中，一个粒子的运动状态，可用它在每一时刻t的坐标和动量（即相 空间中一个点）给出确切的描述；而运动状态随时间的演化，遵守Newton方程（或 与之等价的正则方程等）.所以，如粒子在初始0 = 0)时刻的坐标和动量一经给定， 则以后任何t>0时刻粒子的运动状态就随之而定.这是一个决定论性的（deterministic) 描述 . 无数实验已确切证明，微观粒子具有波动-粒子两象性（wAve-pArticle duAti-ty).可以理解，微观粒子的运动状态的描述方式及其随时?间演化的规律，必然不同 于经典力学中的粒子. 对波动-粒子两象性做认真分析（卷I ,2.1节）后，可以看出，实验观测中所展 现出来的“粒踿性”，踿不过踿微踿粒子踿“踿踿性” (Atomicity)或“颗踿踿” (cor-pusculAiy),即粒子是具有确切踿踿禀属性（电?荷?、质量等）的一个客?体，但并不意 味着粒子在空间中的运动具有确切的轨道，后一概念乃是经典力学中粒子运动的 特性，与双缝干涉实验中显示出的粒子的波动性是不相容的.近年来已有直接实验 (所谓“which-wAy”实验）证明栙，当人们可以确切判断粒子是从双缝中的哪一条缝 穿过时，双缝干涉花纹就会完全消失. 另一方面，实验观测到的微观粒子的“踿动ft”,踿?过是踿踿踿率?踿?踿? 素，即波的“相干叠加性’’（coherent superposition)，但并不意味着这种波动一定是 ?种?实?在?的物理定定波动(例如密度波、压强波等). 人们经过认真分析后发现，要把经典粒子的全部属性和经典波动的全部属性 统一于同一客体是绝不可能的.能把粒子性和波动性统一起来的，更确切地说，能 把定物粒子的“原定定，，定定动定“定干叠定定，，统一定定的，定一自定的方案定 定.B orn提出的‘ ‘概率波’ ’(定ro bAb ili t y wA ve )概念，^ P波函数的统计i全释2.这已为 无数实验所确证.为此，Born获得1954年Nobel物理学奖. 1 例如，S. Diirr，T. Nonn & G. Rempe，NAture 395(1998) 33，Origin of quAntum-mechAnicAl complementArity probed by A “which-wAy” experiment in An Atom interferometer. 2 M. Born，Zeit. Phys. 38(1926) 803;NAture 119(1927) 354；P. JordAn， Zeit. Phys. 41 (1927) 797； W. Heisenberg，Zeit. Phys 43(1927) 172. 按照Born的波函数的统计诠释，设一个粒子的波动性用波函数氉(复）描 述，则 | 氉(r) | 2d:rd;yd2： (1. 1. 1) 就是发现粒子位置在r点的体积元dzd^ds：中的概率.按照概率的含义，显然要求 波函数满足归一化条件 j'j'j' | 氉（r) I 2dicd^dx = 1 (1. 1. 2) (全空间） 但应当强调，踿踿分布踿最实质踿的内容踿“踿对踿踿分踿暠.因此，氉（）与 C氉(r)(C是不依赖于粒子坐标的?任意常数)所描述的粒子在空间不同地点的相对 概率分布是完全相同的，即描述的是同一个概率波.所以量子力学中的波函数总是 具有常数因子的不定性.这一特点是经典波决不可能有的.列如，经典波的振幅如 增大1倍，则相应的实在物理量（如振动的能量)将增为4倍.正是基于这种常数因 子不定性，一个波函数总可以要求它满足归一化条件（1. 1.2)?.在保证归一化条 件下，波函数还有相位不定性，因为氉与e^Kd为实常数 > 所描述的概率分布完全 相同，而且如氉满足归一化条件（1. 1. 2)则e氉显然也是归一化的. 对于多粒子体系，例如2粒子体系，波函数氉（1’d描述的是6维位形空间 (configur41i4n sp Ace )中的波动，除了给予概率诠释外，别无他途，因为“6维空间中 的实在物理量的波动”是难以理解的. 虽然长期以来一直有人对波函数的统计诠释提出了各式各样的批评，但波函 数的统计诠释已经在无数实验中被证明是正确的?我们认为，在人们现今对于物质 粒子存在形式的概念框架之下，波函数的统计诠释是能把波动粒踿踿象性踿踿起 来的惟一符合实验的方案，?尽?管从经典物理学的概念来看，?它?是格格不入的.^ '' ‘踿还应该强调，?波?函?数?的统计诠释中的概率分布，与数学概率论中的概率分布概 念有本质不同.在日常生活中，人们之所以要借助于概率统计理论来处理问题，是 因为所处理的问题太复杂，决定事物进程的因素较多，人们无法根据已掌握的事 物的现状去准确预测事物尔后出现的结果，所以不得不借助概率统计的方法进 行预测.在量子力学中，波函数必须采用统计诠释是由波动粒子两象性所导致 的.波函数所预言的概率分布，只是对粒子测量结果的一种预期(expectAtion),并 非粒子已经具有那样的分布(既成事实 > 等待人们去观测它?初学者往往对此有 各种各样的误解?这里就涉及纯态（纯系综)和混合态（混合系综）的概念，将于 2. 2节中讨论. 基于波函数的统计诠释，有人认为，量子力学对事物的描述总是概率性的 (probAbilistic).这是一种片面的看法.量子力学中，对于用波函数描述的微观粒 ?尽管任何量子体系的实际波函数，总是归一化的，考虑到波函数的要害是描述相对概率分布，量子 力学中并不排除使用一些理想的、不能归一化的波函数，如平面波，毮波包等.详见卷I . 4. 4节.子，并非踿踿有物踿踿踿测踿结果的踿言踿是踿率踿的.这要看人们测量的是哪一 个力?学?量‘.踿踿踿某踿力学踿的踿测踿踿的预踿只踿踿概率性的，而对另外某些力 学量的观测的预言则可能是决定论性的（deterministic)，即只能出现惟一的结果， 概率为1.这里就涉及力学量的踿征踿的概念（? 1. 2节>和本踿踿踿相目踿叠加的概 念（1. 1. 3节）.这也可以认为是Bohr特别强调的“互补性原理”（omplementArity principle)的一个重要方面.波函数的统计诠释的更普遍的表述将在1. 1. 3节中 给出. 1. 1. 2力学量用算符描述，本征值与本征态，Heisenberg不确定度关系 考虑到波动粒子两象性，微观粒子的力学量必定有与经典粒子本质上不同的 特征.首先，按照de Broglie关系4 = http://image.suning.cn p =氉 *(r)p 氉（r)d3r， 暷=—tih (1.1.3) 可以看出动量平均值p是与波函踿踿踿度(而不是与踿函数在某踿的nr域值)no 联系氉(r )的梯度愈大，就表现为波长愈短，因而?动?量?平?均值就愈大;这在物?理'图像 踿是很清楚的. 按动量算符的上述表示式，它的直角坐标分量_/5A(( = T，：y，；s)与坐标各分量工毩 (二^，；)7，2^满足下列对易关系式： [x毩，暷]曉xAp毬—毩=t毮毬 (1- 1 4) 这正是Heisenberg最先提出的粒子的坐标和动量的乘法不对易关系.（1. 1. 4)式 是?子力学踿踿本?踿易关踿踿，踿波?粒踿两踿性?表?.凡有经典对应的力 学量之间的对易关系，均可由它导出.如粒子的角动量暷=rX暷的分量之间的对 易关系 [毩，1毬]=t毰毬毭1毭 (1. 1. 5) 毰毭为Levi-CivitA符号. 波动-粒子两象性的另一个集中表现就是坐标-动量不确定度关系(uncertAinty relAtion) h 殼x毩殼p毬> ^■毮毬 (毩^毬=xtytz) (1.1.6) 事实上，对于任何波动（无论是经典波或概率波）都可以证明 殼x殼k 燁 1 (1. 1. 7) 式中k为波数.注意：式（1. 1. 7)还不是量子力学中的不确定度关系.但如考虑到微 观粒子的波动性，按de Broglie关系，_p = hk(k = 2Tc/A).由式（1.1.7)即可导出 此即坐标—动量不确定度关系，它是微观粒子具有波动性的必然结果. 不确定度关系概定定指明：定定到定动-粒定定象定定人定定不定全定套用经典定 子的所有概念，特别是轨道运动'概念，来描.述.微.观?粒?子，它指明了应用经典粒子运动 概念来描述微观.粒.子应受到.的.限制从形.式上.讲，当h曻0时，粒子波长毸=h/p曻-， 殼X殼p x曻定，波动效应(^定量子效定)就可以忽略，而经典力学就可以很好地描述粒 子的运动.在此极限下，粒子的坐标和动量就彼此对易，粒子的轨道运动概念也就 很好地成立，这正是日常生活中使用的概念. 量子力学中，“力学量用算符来描述，，的含义是多方面的?除了上面已提到的计 算力学量的平均值要用到算符表示外，?量子力学有一个基本假定:一个力学量，如 F,在实验观测中的可能取值，就是相定的算fF的本征值之一，例如F?， F 氉 ? = Fn 氉 n d- 1 8) 氉是与F。相应的本征态.由于可观测量都为实数（F^ =FJ，这就要求F为厄米 算f (J暷+ =F).可以证明，对应于不同本征值的本征态彼此正交 (氉，氉m)=毮nn (? 1 9) 此外，力学量之间的关系也表现在算符之间的关系上?例如，两个力学量A和B 是否可以同时具有确定测值，就取决于相应的算f是否对易.如[A，B]=o,则A与 B可具有共同本征态，在这种共同本征态下，A和B同时具有确定值.反之，若[暷， B]曎0,则一般说来，A与B不能同时具有确定值.可以证明更普遍的不确定度关系 AAAB 曒 2IAI3I (1.1.10) 特例是，用坐标与动量算符的基本对易式（1. 1.4)代人式（1. 1. 10)即可得出不确 定度关系（1. 1. 6)[注]. 人们还发现，一个力学量，如F,对应于它的某一个本征值的本征态可能不止 一个，此之谓简并（degenerAcy).属于同一本征值的诸本征态，彼此不一定就正交. 但总可以使之正交归一化(例如采用Schmidt程序）.本征态的简并往往与算符的 对称性有关(偶然简并除外）.在存在简并的情况下，往往存在'另?外的'力'学'量'，例如 G,它与F对易.此时，可以求F和G的共同本征态（simultAneous eigenstAtes)， 根据G的不同的本征值，就有可能把F的诸简并态确定下来，此时，简并态之间的 正交性就可自动得以保证. 在量子力学中，一个力学量F(不显含t)是否是守恒量，就根据它与体系的 HAmilton量H是否对易来判断 [注]参见本书，卷I，4.3.1节，及该节的注. [F ,i暷]=0 (1. 1. 11) 这与经典力学中根据Poisson括号{F, iH} =0是否成立来判断守恒量相对应. 关于力学量的本征值问题，还有几点值得提到： (1)量子力学中并非所有力学量的本征值都是量子化(离散)的?对于角动量， 根据它的分量的对易关系?，可以证明踿踿量踿本征值只能是^的整数或半奇数倍. 对于坐标或动量，本征值是连续的；而对于HAmilton量，本征值既可能是离散的 (束缚态），也可能是连续的（游离态或散射态）. (2)量子力学对踿力学踿踿踿踿预踿，既可踿44踿率踿的(probAbilistic),也踿 能是决定论性的(d'etermi ki4 i4)，‘这取决于体系所处状态?是否是待测的力学踿的 本征态.?例?如?，在力学量F的本征态氉下，测量F所得结果是完全确切的，即F? (概率为1 )，而测量另外的力学量G ,就不一定能得到一个确切的值，一般说来，只 能做概率性的预期，除非氉同时也是G的本征态. (3);力4量踿全踿概念?一组彼此踿踿对踿的，函踿独立的力学量，如果踿们44 踿44踿征.态.足.? 4踿踿的踿?态? 4— 44描述，则踿之为踿踿44踿组对踿? ? 量完全集（A complete set of commuting observAbles， CSCO).对于具有 w 个自由 度的体系，对易完全踿内的力学踿的数踿不少4 4 4度踿?例如，三维粒子的3个 坐标分量（? ? y，暷)或动量分量（p c ?暷T，暷^ ) ?都可以选为力学量完全集.如完全 集中所有力学量又都是守恒量，则称为体系的一组对易守恒量完全集（complete set of commuting conserved observAbles，CSCCO).不同的体系，由于它们的对称 性的差异，守恒量完全集一般也不相同.对于同一个体系，对易守恒量完全集的选 取也可能不止一种.例如，三维自由粒子，（p，p，y)，（ H，暷2，暷）都可以选作守 恒量完全集?对于中心力场V(r)中的粒子，（^，^，暷），^，^，/!)，^，^， Zyy)都可以选为对易守恒踿完踿集.但注意，?踿量踿全踿踿4踿踿的数目踿踿踿 踿4于自由踿???例如，?一?维?自'由?粒子，动量y就构成守恒量完全集，而H Amio‘n 量H = P2/2m本身并不构成守恒量完全集（由于H的本征态是二重简并），但 (Hj)则构成一维自由粒子的一组守恒量完全集，为空间反射算符. 应用量子力学处理一个具体体系（特别是多自由度体系，或多粒子体系）时，对 易守恒量完全集的选取是十分关键的.对易守恒量完全集的一组量子数，称为踿踿 子数完全4?在处理能量本征值(定态> 问题时，这一组好量子数可以很方便地?踿 标记诸定态（包括能级有简并的情况）.而在处理跃迁时，可以用它们来建立相应的 选择规则（selection rule);在处理散射问题时，则可以根据它们来进行分波. 1.1.3量子态叠加原理，表象与表象变换 一个体系若处于某力学量，例如F的本征态氉[见式（1. 1.8)]，则测量F所 得结果是完全确切的，即F?(概率为1).但如体系处于F的两个本征态的叠加氉=C氉' + C 氉2 (1.1.12) 则测量F所得结果就不是惟一确定的，或者为或者为F.这就是量子踿?踿 加原理.当体系处于某力学量（F)的若干个本征态的叠加态时，就导致测量‘(F‘)结 ?的踿确?定??，踿完全踿踿种量子力学效应，?是?量?子?力?学?区别于经典力学的最显著 的，?也?是最?难?理解的一个特征，量子态叠加原理可以认为是波的叠加性与波函数完 踿踿述踿个踿系?踿子态栙两踿概念踿概括.^  ? ^踿体踿处于力学量?的.叠.加.态.（? ?踿)时，测量F得到F1的概率曍| C1 |2， 测得结果为F2的概率曍C2 |2, | C1 2+ C2 |2 = 1表示归一化条件.应当强调，量 子态的整体的相位有不定性，即elA (C:氉+ C；；氉）（实）与（C:氉+ C；；氉）描述的是 同一个量子态，但叠加态的相对相位却是有物理意义的.如C1氉十eC2氉）（曎0， 实）与（C1氉+C；；氉）描述的就是不同的量子态. 一般地说，设氉是体系的某一组（包含F在内的>不易不学量完全集的共同 本征态，F氉=f氉（标记一子不子的量子数，假设为离散).按照态叠加原理，体 系的任何一个量子态氉都可以表示成诸本征态氉?}的线性叠加 氉=暺 C氉 (1. 1. 13) 利用氉的正交归一性，(氉，4>m) = Km，上式中的叠加系数为 Cn =(氉? 氉) (1.1.14) Cn 2代表在氉态下测量F得到F。的概率，归一化条件为暺1C。2 = 1，这就是 波函数的统计诠释的最一般的表述?同样，应该强调，各子不子的不子不子是不不 子意义的，不不并子不不在lA 2中.但在测子子子不.学同.(不不于子完子集子同 就可能表现出来(出现干'不现象). ? ? 一个力子量（不?本?征?态，一般不是另一个力学量(如G)的本征态，除非是 它们（F和G)的共同本征态.例如，谐振子的基态氉，是能量最低的本征态，但它不 是坐标（或动量）的本征态.在氉态下，测量其能量，所得结果是惟一的，即?。= t^2，概率为1,这是量子态的决定论性描述的一面?而测量粒子坐标时，其结果就 不是确定的，而有一个分布，测得粒子位置在x点的概率曍e—(= VWt)，呈 GAuss分布.这是量子态的概率性描述的一面. 谐振子处于两个能量本征态的叠加时，如氉=(氉。+氉）/#，就构成谐振子的 一个非定态（nonstAtionAry stAte).在此态下，测量其能量时，所得结果就呈现出不 1 例如，A. MessiAh?QuAntum MechAnics ?1? p. 162：“ the wAve function completely defines the dynAmicAl stAte of the system under considerAtion. In contrAst to whAt occurs in clAssicAl theory，the dynAmicAl vAriAbles of the system connot in generAl be defined At eAch instAnt with infinite precision. However， if one performs the meAsurement of A given dynAmicAl vAriAble，the results of meAsurement follow A certAin probA- bility lAw，And the lAw must be completely determined upon specifying the wAve function.，’