千年之谜（二）杨-米尔斯方程：普罗米修斯的火种
文章来自“科学大院”公众号
作者：黄逸文
“我们是什么，我们从哪里来？”这个最古老的哲学问题，数千年来一直伴随着人类心灵的成长，终于在二十世纪迎来了破译的希望。揭开谜底的关键，就来自于最前沿的物理学研究。
图1 这一哲学问题困扰了一代又一代学者（图片来源：azquotes.com）
在此期间，无数辉煌的科技成就相继诞生，人类开始试图解答许多基本而迷人的问题。物理学家也终于将目光投射到曾经属于哲学的那片天地，并开始追问构成我们以及宇宙万物的基本材料是什么。
在这一极富挑战的过程中，人们不得不借助于数学的工具来描述相应的物理现象，并对某些数学问题的解做出相应的假设。幸运的是，这些假设及其推论都有着十分坚固的实验数据的支持，因此，科学家们相信这些数学工具能够为解释世界为何如此提供令人信服的理由。事实上，科学家用数学来解释世界有着悠久的传统。从牛顿提出三大定律开始，数学就作为最可靠、精确的工具被用以描述世界运转的规律，并取得了令世界瞩目的成就。尽管人们在认识世界的前景上取得了重大的进展，但类似世界的构成这样核心而基本的问题却长久以来被隐匿在人类探寻真理之路的茫茫迷雾之中。
认识由宏观到微观
古希腊人认为世界是由土、水、气、火组成，而柏拉图（Plato）则进一步认为这四种物质是由微小的原子汇聚而成。在柏拉图的“原子”构想中，宇宙是以一种有序的几何形式构建而成，而数学就能帮助人们了解这种形式。这一思想极大地影响了后世的科学家。到了17世纪，伽利略更认为“数学是书写宇宙的唯一语言”。也正是这种信念，让开普勒（Kepler）终其一生孜孜不倦地观测星体，只为寻找出它们运转的规律。功夫不负有心人，开普勒在几十年如一日的观星数据下，终于总结出三大行星的运转规律。牛顿也是在开普勒的数据和三大规律的启发之下，才提出惊世骇俗的万有引力定律。
图2 星体的运转总是带给人们无限的遐想（图片来源：wholeuniverse.com）
牛顿的理论在宏观天体的预测中取得了巨大的成功。人们逐渐将这种思想推广到微观的领域。到了20世纪初，科学家普遍认为一切物质均是由原子组成。原子就好比微型的“太阳系”，其中的电子（行星）就是以特定的轨道绕着原子核（太阳）运动。然而，在随后的20年里，这种微观模型的假设遭到来自世界各地的实验数据的挑战。科学家们被迫放弃和修正这一模型。物质在微观层面终于露出其最捉摸不定的一面。微观粒子的位置和动量无法同时被人们精确地观测记录。
图3 卢瑟福的碳原子结构模型（图片来源：atomic.lindahall.org）
人们笃信千年的确定性理论，特别是以牛顿和爱因斯坦理论奠定的物质运动规律在微观领域遭遇到最无情的嘲讽和抛弃。当“上帝开始掷骰子”，人们似乎再也无法把握世界的本质。有鉴于此，爱因斯坦终其一生也拒绝接受这种貌似“荒谬”的学说。然而，正是这一诡异的现象奠定了20世纪最伟大的两项科学成就之一——量子理论的诞生。在这一理论中，微观粒子，比如电子的行为只能用概率的形式进行描述。在任何时刻，它都会以相应的概率出现在世界上任何第一个地方。
于是，在研究天文尺度的星体时，爱因斯坦的相对论占据了核心的位置；而在研究亚原子尺度的微观世界时，量子理论则独占鳌头。这两个理论都在各自的领域取得了卓越非凡的成功，也被相应的物理学家视为坚固的基石。它们在各自的领域也相安无事。然而，当宇宙中的超级怪兽——黑洞被发现后，物理学家却面临着非常窘迫的现状。一方面，黑洞具有极高的密度和质量，是相对论大展拳脚的地方。另一方面，黑洞又是极度的微观存在，它必然受到量子理论的制约。遗憾的是，当两大最杰出的科学成就第一次交锋时，却在黑洞内部得出了不可调和的矛盾！人们要么被迫放弃一个理论，要么被迫接受还有比两大理论更基础和本质的理论。这种将两大理论的冲突调和到一起的终极理论也因此被称为物质的大统一理论（Grand Unified Theories），也被称为万物理论（Theory of Everything）。终极理论被视为现代物理学的圣杯。
图4 黑洞的发现是对量子理论的挑战（图片来源：futura-sciences.com）
迈向大统一理论
这一探寻的出路之一可归结于寻找一个统一的框架，将自然界仅存在的四种基本力，即电磁力、引力、强核力与弱核力统一到一起。事实上，电磁力可由牛顿的基本物理学加以解释；爱因斯坦的相对论则完美地诠释了引力；量子理论则提供了解释两种核力的基础。从1925年起，物理学家试图拓展量子理论来实现最终的大统一理论。这一拓展遂发展成为“量子场论”。量子场论从诞生起，就呈现出关于人们认识物质图景的最深刻的见解。大名鼎鼎的杨—米尔斯方程作为量子场论征服物质大统一理论的先锋终于在1954年闪亮登场。
图5 杨振宁（1922-）和Robert Mills（1927-1999）（图片来源：learner.org）
杨—米尔斯理论作为迈向大统一理论的第一步，却衍生了一个关键的数学难题，即质量缺口假设。在用杨—米尔斯理论的量子力学版本统一电磁力和弱力或者强力时遇到一个棘手的问题，即杨米尔斯方程的经典版本描述了以光速传播的零质量波。然而，在量子力学中，每个粒子都可以被看作一种特殊类型的波，因此“无质量”成为这一问题的症结所在。特别的，核力是由非零质量的粒子所承载。
对于弱力，人们后来通过建立电弱理论，引入希格斯场来避免无质量性。随后，关于杨—一米尔斯方程的渐进自由的重要性质的发现，则导出了把强力包含在内的唯一的量子场论，这成为量子色动力学的前身。第二道千年之谜就诞生于推导量子色动力学的研究之中。人们需要证实杨—米尔斯方程的一个解，并确立解的一种特殊性质，即质量缺口假设，该假设需要解释为何强力只能在极短的距离内起作用。
解决杨—米尔斯方程的，不仅标志着数学中重要的新领域的开始，也将提升我们对宇宙的深刻认识。同时，质量缺口假设的证明将把数学和物理理论推到全面的新高度，也将阐明人们尚未完全理解的自然界中最深邃的原理。
作者单位：中国科学院数学与系统科学研究院
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