北京大学2009年高等代数与解析几何试题及解答

总算到这最后一份解答了！加上这一份解答，目前北京大学的考研试题解答均有了，虽然有的解答可能还需要以后修修补补，但是主体工程总算完成了！

2009年的高等代数题我感觉挺诡异，其中的第6题可以算是所有年份的题目中题干最长的一道题。把所有题目都排完就用了差不多两面A4纸，其他的就先不说啦，我们先看题目，自己思考一遍再看后面的解答。

第一题不太好，它这里只是要求举一个例子，而这个例子很好举，比如取线性无关向量组，那么它的极大线性无关部分组只能是自己，从而唯一。

第二题放到数学分析里面去考更合适，我写了两种解答，并且留了胡适耕的书上面的一道题供大家思考，胡的那本书已经绝版了，不推荐购买，他那本书上的东西基本上都能在丘爷爷的《高等代数》创新教材上册上学到。

第三题差不多算是让证明Witt消去定理，丘爷爷的书上和蓝以中老师的书上都有详细解答，不过都比较复杂，不知命题人在这里放这样一个题是什么意思，难道是这个题目有简单的证明方法？

第四题是让解多项式方程组，比较新颖，我是把原问题转化为三次方程后做的。

第5题是一个比较经典的题目，一般常见的做法是用矩阵的迹来做，我自己想了一个用数学归纳法的新证明。因为容易看出A可逆的时候结论一定是对的，而不好处理的是A不可逆的情况，然后我就想把特征值为0的与非零的部分分开来，通过相似对角化的方法看看能不能转化为较为简单的形状，考虑到原来那个方程中有矩阵转置，用来相似对角化的矩阵还需要取得特殊一点，考虑正交相似对角化，然后发现这样确实就能做出来。关于复矩阵也有对应的结论。

第六题考得有点点非主流，其实题干中那么多话很多都是蓝以中那本教材上在引入行列式函数之前的定义，这道题很有可能是蓝以中老师出的，出题人这么写可能是考虑到因为国内其他教材基本上都不是这么讲行列式的，不补充这些定义不少同学可能不知道一些名词的意思。如果熟悉蓝以中老师的教材上的知识，那么做这道就不会感到很难。如果没能理解我写的那个解答，请翻阅教材。

第七题是用线性方程组的知识证明关于矩阵秩的Frobenius不等式，题目中提示已经够写出解答了，用分块矩阵也能证这个不等式。

第八题是丘爷爷书上的一道题，不难。

第9题与北京大学2007年的解析几何第8题基本上是一样的。

第10题昨天就已经提到了，它与2008年的解析几何第9题类似，与2016年的解析几何第9题一样。

第11题是关于截线形状的问题，截线问题是常考的题目，这题不难。

第12题这种求点的轨迹的题目一般是先求点的坐标，再看看这个点满足什么方程，可以通过选几个特殊点找出球面的方程，后面的只是验算。

既然这是最后一份高等代数与解析几何解答我就再多说几句。

高等代数的中文教材里面我只大体看完过高等教育出版社出版的北京大学前代数小组编写的《高等代数》，蓝以中的《高等代数简明教程》，丘维声的《高等代数》创新教材，我觉得其中最好的是蓝以中的那本。蓝以中的《高等代数学习指南》是他那本教材的配套辅导书，把上面的题都做掉再做北大的高等代数考研题基本上就不会有大问题，但是蓝以中的书里淡化了关于矩阵运算的一些技巧，最好还是看看丘爷爷的创新教材上册补上，想进一步提高的同学可以考虑丘爷爷的创新教材下册。

解析几何我只看过丘爷爷的书，我感觉里面还是欠了些东西，比如三维空间中做正交变换化简曲面没讲，平面与二次曲面的截线的形状基本也没有相关的题目。不过在他的书的基础上再把北大历年的解析几何题都钻研一遍也就差不多了，或许你们可以看看北大的其他老师写的的解析几何书。