“特征向量新公式”不能改变数学，但也许能改变你的学习

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　　不得不说最近关于“陶哲轩的线性代数新公式”成为数学圈内最热的话题，从开始的惊诧到后面八卦娱乐，让不少人充满了欢乐。我们哆嗒数学网也发了文章，说明论文中的所谓的“新公式”并非首发。在这篇文章之前，这个公式已经不止一次出现在其他论文或者教材中了。其中目前发现最早有记载这个公式的论文在四十多年前的1968年。

　　

　　这里我们希望每一个关心这件事情的人不要嘲笑当局者的任何一方，毕竟数学学科树大根深，谁也不知道从哪个犄角旮旯里出现了一个大家都不熟知的“沉睡”了许久的简单结果

　　。就算菲尔兹奖得主陶哲轩，也不例外，不是是什么零零碎碎的知识，他都能迅速通过肉脑搜索出来。他出现这个乌龙，一点也不奇怪。

　　喧嚣过后，我们哆嗒数学网的小编们突然想到，这个公式本身是真的，不是吗？再进一步思考发现，难得有菲尔兹得主发表的文章，其中的数学内容能让一个普通的大学生有可能看得懂、理解的了，说不定还能欣赏、评鉴……

　　——而且这还是网上热点，绝佳的一个聊聊线性代数的机会不是吗？

　　好了，我相信大多数关心这个新闻的人都还不知道这个公式具体是啥，因为数学家们使用的符号会让让人吓得退避三舍，不敢再深究。这篇文章将把正在读这篇文章的人看成非数学系的理工科考研党（或者相应水平），用一个简单的例子来解读这个公式到底在说啥。

　　首先，你都是考研党了，一定会复习线性代数这门课程的内容。知道矩阵、特征值、特征向量概念。陶哲轩的这个公式就是针对埃尔米特矩阵求特征值的公式。什么不知道什么是埃尔米特矩阵？不慌，这个类型的矩阵可能不是每一个学习线性代数的同学都会学，但是另外一个概念一定会学：实对称矩阵——矩阵里每个变量都是实数，且其转置等于本身的方阵。实对称阵是一种特殊埃尔米特矩阵，作为考研党的你，就把这个公式结果认为是针对是对称阵的，这样不会影响你品味这个公式。

　　好了，你理解了，这是一个可以对实对称阵求特征向量的公式。无论你大学老师还是你的考研辅导班的名师都会告诉你求方阵A特征向量的流程：

　　第一步：计算行列式|λI-A|=0的根，这个行列式的结果是个n阶多项式，会得到n个特征值，这里可能有重根。

　　第二步：对刚才每个特征值λ，解线性方程组(λI-A)X=0，找到每个方程的线性无关的的解，得到的解就是特征值λ对应的特征向量。

　　这里，帮你回忆一下用到的知识点，第一步你要会求行列式、大多时候你还要分解因式来求解方程的根。第二步，你要用到解线性方程组，有可能用到高斯消元法。

　　陶哲轩的那个新公式告诉你，哪怕你很菜，直到你上考场之前，都没掌握解线性方程组的方法，你一样也有可能解出特征向量，而且用到的知识点全部都在第一步当中——你只要会求特征根就行。

　　——少记忆一个知识点，这样讲是不是很吸引人？

　　这个公式会在第二步会拆成下面几个分步做：

　　新第二步第一分步：删掉A第1行第1列的元素，得到子矩阵，删掉A第2行第2列的元素，得到子矩阵，……，删掉A第n行第n列的元素，得到新矩阵。最后得到n个子矩阵。

　　新第二步第二分步：每个子矩阵计算特征值。这样每个子矩阵有n-1个特征值，这样的特征值有n组。

　　新第二步第三分步：通过以上不同地方计算得到的特征值，直接计算每个特征向量的分量值的绝对值。在通过线性无关的关心决定去掉绝对值的选取的符号。

　　陶哲轩的公式在原文里是这样的，很吓人。

　　

　　于是，我们针对三阶实对称方阵来把他简化成下图这样。

　　

　　我们做一道具体的题目，就算下面这道，怎么样，是不是很像你们的课后习题或者期末考试题？

　　

　　这道题很容易算出x，y的值。最后就算找一个正交矩阵做对角化的问题。那个要找的矩阵P就算单位化的特征向量拼成一个矩阵而已。

　　特征值是，2，1，-1 ，也就是：

　　

　　按传统做法，回去解下面的三个线性方程组，分别得到特征向量。最后得到P。

　　

　　新公式的办法，会先分列子矩阵，分别计算特征值。

　　

　　然后套公式解出每个分量的绝对值。

　　

　　你会发现，有两个特征向量的每个分量绝对值是完全一样的，因为特征向量需要线性无关，于是很容易决定正负号的选择。另外哪个是特征值1对应的特征向量，哪个是特征值-1的特征向量还要做乘法试一试。

　　这样同样能得到P的结果：

　　当然，我们曾经试图使用这个方法想办法解决四阶方阵的问题，一般计算量会更大，并不实用。

　　好了，不知道你在考试中这样做会不会得分，不过的确没有解过任何线性方程组，答案也是对的。

　　总之，祝你好运！

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